置信水平为l-a的置信区间为巳，可，则在显著性水平a下检验H。:4=4。(其中己知， 4,g2,可司)的结论是 7.5自测题七答案 一、1.-；2.+；3.+；4.+；5.+；6.+；7.+；8.-；9.-；10.+ 二、1.B,2.C,3.A;4.C,5.A;6.D7.A;8.B；9.B10.A 三、1T=Xn,r>1a- s" 2F=S,F≥Fm-1n-3干/a) 4.接受H。;5.496.[135.8,144.2],[2.03,9.75]；7.1.1357o2；8.16; 9.[0.156,8.94],[-9.4,49.4]；10.拒绝H。 7.6典型例题 例1某厂生产的钮扣，其直径5~N(4,o2),己知o=4.2(mm),现从中抽查 100颗，测得样本均值X=26.56(mm)。己知在标准情况下，钮扣直径的平均值应该是27 (mm),问：是否可以认为这批钮扣的直径符合标准？（显著水平α=0.05） 解问题相当于要检验H。:4=27。 U=X-4m=26.56-27100=-1.048。 00 4.2 对a=0.05,查N(0,1)分布的临界值表，可得临界值4-%=497s=1.9600， 因为U=-1.048=1.048<1.9600,所以接受H。:4=27,可以认为这批钮扣 的直径符合标准。 例2某厂生产的合金钢，其抗拉强度ξ~N(4,σ2)，现抽查5件样品，测得抗拉强 108
108 置信水平为 1− a 的置信区间为 , ,则在显著性水平 a 下检验 0 0 H : = (其中 0 已知， 0 , ）的结论是_________. 7.5 自测题七答案 一、 1. －; 2. +; 3. +; 4. +; 5. +; 6. +; 7. +; 8. －; 9. －; 10. + 二、 1. B; 2. C; 3. A; 4. C; 5. A; 6. D; 7. A; 8. B; 9. B; 10. A 三、 1. , ( 1); 2 1 * 0 − − = − n T t n S X T a 2. , ( 1, 1); 2 * 2* = F F m − n − S S F a y x 3. ( ) ; 1 2 Q n n X − 4. 接受 H0 ; 5. 49; 6.［135.8,144.2］，［2.03,9.75］; 7. 1.1357 2 ; 8. 16; 9.［0.156,8.94］，［-9.4,49.4］; 10. 拒绝 H0 7.6 典型例题 例 1 某厂生产的钮扣，其直径 ～ ( , ) 2 N ，已知 = 4.2 （mm），现从中抽查 100 颗，测得样本均值 X = 26.56 （mm）。已知在标准情况下，钮扣直径的平均值应该是 27 （mm），问：是否可以认为这批钮扣的直径符合标准？（显著水平 = 0.05 ） 解 问题相当于要检验 H0 ： = 27 。 100 1.048 4.2 26.56 27 0 0 = − − = − = n X U 。 对 = 0.05 ，查 N(0, 1) 分布的临界值表，可得临界值 0.975 1.9600 2 1 = = − u u ， 因为 U = −1.048 =1.048 1.9600 ，所以接受 H0 ： = 27 ，可以认为这批钮扣 的直径符合标准。 例 2 某厂生产的合金钢，其抗拉强度 ～ ( , ) 2 N ，现抽查 5 件样品，测得抗拉强
度为46.8,45.0,48.3,45.1,44.7，要检验假设H。:4=48。(显著水平 a=0.05) 解样本容量n=5,样本均值X=45.98,修正样本标准差S*=1.535, T=X-4万=45.98-485=-2942。 S* 1.535 对=0.05，自由度n-1=4,查1分布的临界值表，可得1n-)=2.7764， 由于T=-2.942=2.942>2.7764,因此拒绝H。:4=48。 例3某厂生产的维尼纶的纤度5~N(4,σ2)，己知在正常情况下有σ=0.048。 现从中抽查5根，测得纤度为1.32,1.55,1.36,1.40,1.44，问：5的标准差σ是 否发生了显著的变化？（显著水平α=0.05） 解问题相当于要检验H。:σ=0.048。 样本容量n=5,样本方差S2=0.006224, x2=m-5x0.006224 13.507。 06 0.0482 对a=0.05,自由度n-1=4,查X分布表，可得Xgn-)=0.484及 X不%m-)=11.143,由于X=13.507>11.143,所以拒绝H,:6=0.048,结论是： 纤度的标准差发生了显著的变化。 例4任选19个工人分成两组，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间 (单位：分钟)如下： 饮酒者 30,46,51,34,48,45,39,61,58,67 未饮酒者 28,22,55,45,39,35,42,38,20 问：饮酒对工作能力是否有显著的影响？（显著水平=0.05） 解设两组工人的完工时间分别为总体5~N(4,O)和7~N(42,O),其中 O1、O2未知，但假设己知有O1=O2。问题相当于要检验H。：山1=山2是否成立。 m=10,X=47.9,S2=125.29,n=9,T=36.0,S2=112.00, 109
109 度为 46.8, 45.0, 48.3, 45.1, 44.7, 要检验假设 H0 ： = 48 。（显著水平 = 0.05 ） 解 样本容量 n = 5 ，样本均值 X = 45.98 ，修正样本标准差 S* =1.535 ， 5 2.942 1.535 45.98 48 * 0 = − − = − = n S X T 。 对 = 0.05 ，自由度 n −1= 4 ，查 t 分布的临界值表，可得 ( 1) 2.7764 2 1 − = − t n , 由于 T = − 2.942 = 2.942 2.7764 ，因此拒绝 H0 ： = 48 。 例 3 某厂生产的维尼纶的纤度 ～ ( , ) 2 N ，已知在正常情况下有 = 0.048。 现从中抽查 5 根，测得纤度为 1.32, 1.55, 1.36, 1.40, 1.44 ，问： 的标准差 是 否发生了显著的变化？（显著水平 = 0.05 ） 解 问题相当于要检验 H0 ： = 0.048 。 样本容量 n = 5 ，样本方差 0.006224 2 S = ， 13.507 0.048 5 0.006224 2 2 0 2 2 = = = nS 。 对 = 0.05 ，自由 度 n −1= 4 ，查 2 分布表， 可得 ( 1) 0.484 2 2 n − = 及 ( 1) 11.143 2 2 1− n − = ，由于 13.507 11.143 2 = ，所以拒绝 H0 ： = 0.048 ，结论是： 纤度的标准差发生了显著的变化。 例 4 任选 19 个工人分成两组，让他们每人做一件同样的工作，测得他们的完工时间 （单位：分钟）如下： 饮酒者 30，46，51，34，48，45，39，61，58，67 未饮酒者 28，22，55，45，39，35，42，38，20 问：饮酒对工作能力是否有显著的影响？（显著水平 = 0.05 ） 解 设两组工人的完工时间分别为总体 ～ ( , ) 2 N 1 1 和 ～ ( , ) 2 N 2 2 ，其中 1、 2 未知，但假设已知有 1 = 2 。问题相当于要检验 H0 ： 1 = 2 是否成立。 m =10， X = 47.9 ， 125.29 2 Sx = ， n = 9，Y = 36.0， 112.00 2 Sy =
mS +nS; 10×125.29+9×112.00 m+n-2 10+9-2 =11.5323， T=- -7 47.9-36.0 =2.2458。 +日 1,1 n 11.53230+9 对a=0.05,自由度m+n-2=17,查1分布表，可得1%m+n-2)=2.1098, 由于T=2.2458=2.2458>21098,因此拒绝H。:4=2，从检验得出的结论 是：饮酒对工作能力有显著的影响。 例5设两组工人的完工时间分别为5~N(41,O)和7~N(42,σ)，第一组工 人的人数为m=10,完工时间的样本方差为S2=125.29:第二组工人的人数为n=9, 完工时间的样本方差为S2=112.00。要检验H。：o1=o2(显著水平a=0.05)。 解m=10,S=12529,S2=mS:-10×125.29=139.211, m-1 -10-1 n=9,S=112.00,S*2=”S号=。× -×112.00=126.000, n-1 F= S2139.21-1.105。 S,*2126.0001 对a=0.05,自由度(m-1,n-1)=(9,8),查F分布表，可得 F-%m-l,n-1)=4.36, 1 Fg(m-1.n-1)= 1=0.244， g0n-lm-)4.1 因为0.244<F=1.105<4.36,所以接受H。:01=02。 例6设灯泡寿命5~N(4,σ2)，抽取容量为n=20的样本，测得X=1960(小 时)，S*=200(小时)，问：能否认为灯泡的平均寿命已达到2000小时？（显著水平 a=0.05) 解问题相当于要检验H。:4≥2000（备选假设H1：4<2000)。 已知n=20,X=1960,S*=200,求得 110
110 11.5323 10 9 2 10 125.29 9 112.00 2 2 2 = + − + = + − + = m n mS nS S x y w ， 2.2458 9 1 10 1 11.5323 47.9 36.0 1 1 = + − = + − = m n S X Y T w 。 对 = 0.05 ，自由度 m+ n − 2 =17 ，查 t 分布表，可得 ( 2) 2.1098 2 1 + − = − t m n , 由于 T = 2.2458 = 2.2458 2.1098 ，因此拒绝 H0 ： 1 = 2 ，从检验得出的结论 是：饮酒对工作能力有显著的影响。 例 5 设两组工人的完工时间分别为 ～ ( , ) 2 N 1 1 和 ～ ( , ) 2 N 2 2 ，第一组工 人的人数为 m =10 ，完工时间的样本方差为 125.29 2 Sx = ；第二组工人的人数为 n = 9， 完工时间的样本方差为 112.00 2 Sy = 。要检验 H0 ： 1 = 2 （显著水平 = 0.05 ） 。 解 m =10， 125.29 2 Sx = ， 2 2 1 x * Sx m m S − = 125.29 139.211 10 1 10 = − = ， n = 9， 112.00 2 Sy = ， 2 2 1 y * S y n n S − = 112.00 126.000 9 1 9 = − = ， 2 2 * * y x S S F = 1.105 126.000 139.211 = = 。 对 = 0.05 ，自由度 (m −1, n −1) = (9, 8) ，查 F 分布表，可得 ( 1, 1) 4.36 2 1 − − = − F m n ， 0.244 4.10 1 ( 1, 1) 1 ( 1, 1) 2 1 2 = = − − − − = − F n m F m n ， 因为 0.244 F =1.105 4.36 ，所以接受 H0 ： 1 = 2 。 例 6 设灯泡寿命 ～ ( , ) 2 N ，抽取容量为 n = 20 的样本，测得 X = 1960 （小 时）， S* = 200 （小时），问：能否认为灯泡的平均寿命已达到 2000 小时？（显著水平 = 0.05 ） 解 问题相当于要检验 H0 ： 2000 （备选假设 H1 ： 2000 ） 。 已知 n = 20， X = 1960 ， S* = 200 ，求得
T-X-4万-1960-20020=-0.894。 S* 200 对a=0.05,自由度n-1=19,查1分布表，可得t1-a(n-1)=1.7291,由于 T=-0.8944>-1.7291=-41-(n-1),因此接受H。：4≥2000，可以认为灯泡的平均 寿命已达到2000小时。 例7对铁矿石中的含铁量，用旧方法测量5次，得到样本标准差S,=5.68,用新方法 测量6次，得到样本标准差S。=3.02，设用旧方法和新方法测得的含铁量分别为5~ N(41,σ)和7~N(42,O),问：新方法测得数据的方差是否显著地小于旧方法？（显 著水平a=0.05) 解如果我们将原假设定为H。:σ>σ2，备选假设定为H1:σ≤σ3，由于 原假设中没有等号，难以给出合适的检验方法。所以，我们把上面的原假设H。与备选假 设H,颠倒一下，将问题改为要检验H。：o子≤o;(备选假设H:σ>o)。 m=5,S=5.68,S*2=mS2=5y ×5.682=40.328, m-1 s- 5-1 n=6,S,=3.02,S-”S=6 ×3.022=10.944, n-1 6-1 万S*240.328-3.685。 S*2 10.944 对显著水平a=0.05,自由度(m-1,n-1)=(4,5),查F分布表，可得临界值 F-a(m-1,n-1)=5.19,因为F=3.685<5.19,所以接受假设H。:o2≤o2,拒 绝假设H:6>σ子，结论是：不能认为新方法测得数据的方差显著地小于旧方法。 例8一些著名科学家作出重大发现时的年龄为 哥白尼40岁 伽利略34岁 牛顿 23岁 富兰克林40岁 拉瓦锡31岁 赖尔33岁 达尔文 49岁 麦克斯韦33岁 居里34岁 普朗克43岁 爱因斯坦26岁 薛定谔39岁 设年龄5~N(4,62),求4的水平为95%的置信区间。 解样本容量n=12,样本均值X=35.417,修正样本标准差S*=7.2295。 111
111 20 0.8944 200 1960 2000 * 0 = − − = − = n S X T 。 对 = 0.05 ，自由度 n −1=19 ，查 t 分布表，可得 t 1− (n −1) =1.7291 , 由于 0.8944 1.7291 ( 1) T = − − = −t 1− n − ，因此接受 H0 ： 2000 ，可以认为灯泡的平均 寿命已达到 2000 小时 。 例 7 对铁矿石中的含铁量，用旧方法测量 5 次，得到样本标准差 Sx = 5.68 ，用新方法 测量 6 次，得到样本标准差 S y = 3.02 ，设用旧方法和新方法测得的含铁量分别为 ～ ( , ) 2 N 1 1 和 ～ ( , ) 2 N 2 2 ，问：新方法测得数据的方差是否显著地小于旧方法？（显 著水平 = 0.05 ） 解 如果我们将原假设定为 H0 ： 2 2 2 1 ，备选假设定为 H1 ： 2 2 2 1 ，由于 原假设中没有等号，难以给出合适的检验方法。所以，我们把上面的原假设 H0 与备选假 设 H1 颠倒一下，将问题改为要检验 H0 ： 2 2 2 1 （备选假设 H1 ： 2 2 2 1 ） 。 m = 5， Sx = 5.68， 2 2 1 x * Sx m m S − = 5.68 40.328 5 1 5 2 = − = ， n = 6， S y = 3.02 ， 2 2 1 y * S y n n S − = 3.02 10.944 6 1 6 2 = − = ， 2 2 * * y x S S F = 3.685 10.944 40.328 = = 。 对显著水平 = 0.05 ，自由度 (m −1, n −1) = (4, 5) ，查 F 分布表，可得临界值 F1− (m −1, n −1) = 5.19 ，因为 F = 3.685 5.19 ，所以接受假设 H0 ： 2 2 2 1 ，拒 绝假设 H1： 2 2 2 1 ，结论是：不能认为新方法测得数据的方差显著地小于旧方法。 例 8 一些著名科学家作出重大发现时的年龄为 哥白尼 40 岁 伽利略 34 岁 牛顿 23 岁 富兰克林 40 岁 拉瓦锡 31 岁 赖尔 33 岁 达尔文 49 岁 麦克斯韦 33 岁 居里 34 岁 普朗克 43 岁 爱因斯坦 26 岁 薛定谔 39 岁 设年龄 ～ ( , ) 2 N ，求 的水平为 95% 的置信区间。 解 样本容量 n =12 ，样本均值 X = 35.417 ，修正样本标准差 S* = 7.2295