华东理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（学习指导书）第7章 假设检验和区间估计

|T>4m+n-2)时拒绝H,，否则接受H。。 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有σ1=O2,到底是不是这样，最好还要检验一 下。 问题设总体5~N(山1，O),7~N(42,o)，其中41，山2都未知， (X,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5，刀的样本，两个样本相互独立，要检 验H。:σ=o(或0=02)。 检验方法 从样本求出F= S的值。对于给定的显若水平。，查表可得F分布的临界 值F%m-ln-)和F%m-ln-,使得PF<F%m-Ln-明=号以及 PF>%(m-l,n-l明=号，当F<F影m-ln-)或F>Fgm-Ln-) 时拒绝H。,否则接受H。。 怎样查表求F分布的临界值 在书后附录中，有F分布的临界值表，从中可以查到F分布的临界值。查表时， (1)在自由度k=m-1与自由度k2=n-1的相交处，可以查到与p=1-/2 对应的临界值F以(m-l↓n-): (2)临界值F%m-山n-)不能直接从表中查到，要按下列方法求出： 先将自由度前后颠倒，变成(n-lm-),从表中查出F-以n-山m-),再对它 取倒数，即有Fm-n-》=F以0-Lm- 1 单侧检验 问题设总体5~N(4,σ2)，其中O>0未知，(X1,X2,…,Xn)是5的样本，要 检验H。:≥（备选假设H1:4<4)。 检验方法 98

98 ( 2) 2 1  + − − T t  m n 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 两个总体，均值未知时，方差是否相等的检验 在求解上面的问题时，我们假设已知有  1 =  2 ，到底是不是这样，最好还要检验一 下。 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要检 验 H0 ： 2 2 2  1 =  （ 或  1=  2 ） 。 检验方法 从样本求出 2 2 * * y x S S F = 的值。对于给定的显著水平  ，查表可得 F 分布的临界 值 ( 1, 1) 2 F m − n − 和 ( 1, 1) 2 1 − − − F  m n ，使得 2 { ( 1, 1)} 2  P F  F m − n − = 以 及 2 { ( 1, 1)} 2 1    − − = − P F F m n ，当 ( 1, 1) 2 F  F m − n − 或 ( 1, 1) 2 1  − − − F F  m n 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 怎样查表求 F 分布的临界值 在书后附录中，有 F 分布的临界值表，从中可以查到 F 分布的临界值。查表时， （1）在自由度 k1 = m −1 与自由度 k2 = n −1 的相交处，可以查到与 p =1− 2 对应的临界值 ( 1, 1) 2 1 − − − F  m n ； （2）临界值 ( 1, 1) 2 F m − n − 不能直接从表中查到，要按下列方法求出： 先将自由度前后颠倒，变成 (n −1, m −1) ，从表中查出 ( 1, 1) 2 1 − − − F  n m ，再对它 取倒数，即有 ( 1, 1) 1 ( 1, 1) 2 1 2 − − − − = − F n m F m n   。 单侧检验 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中   0 未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要 检验 H0 ：   0 （备选假设 H1 ：   0 ） 。 检验方法

从样本求出T=二丛万的值。对于给定的显若水平a,自由度n-1,查表 S* 可得t分布的临界值t-a(n-1),使得P{T<-t-a(n-l)}=a,当T<-l1-a(n-1) 时拒绝H。,否则接受H。。 问题设总体5~N(山，O),7~N(42,o),其中41，h2都未知， （X,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5,7的样本，两个样本相互独立，要检验 H。:o≤o(备选假设H1:o>o)。 检验方法 对于给定的显著水平，自由度(m-1,n-1),查表可得F分布的临界值 Fm-ln-,使得PF>F(m-ln-}=&,从样本求出F=S 的值， 当F>Fa(m-l,n-1)时拒绝H。，否则接受H。。 单侧检验与双侧检验的相同和不同之处 (1)单侧检验与对应的双侧检验，检验时所用的统计量完全相同，统计量服从的分布 和自由度也完全相同： (2)双侧检验中查分布表求临界值时，p=1-2或p=/2，单侧检验中查 分布表求临界值时，p=1-《或p=心，而且只要查出单侧的一个临界值就可以了： (3)设在单侧检验中，要检验H。:*≤*（备选假设H:*>*),这时，如 果检验时所用的统计量>右侧临界值，就拒绝H。,否则就接受H。: (4)设在单侧检验中，要检验H。:*≥*（备选假设H1:*<*)，这时，如 果检验时所用的统计量<左侧临界值，就拒绝H。,否则就接受H。。 正态总体参数的假设检验 检验Ho 条件 检验时所用的统计量 分布 99

99 从样本求出 n S X T * −  0 = 的值。对于给定的显著水平  ，自由度 n −1 ，查表 可得 t 分布的临界值 ( 1) t 1− n − ，使得 P{T  −t 1− (n −1) } = ，当 ( 1) T  −t 1− n − 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ），（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要检验 H0 ： 2 2 2  1   （备选假设 H1 ： 2 2 2  1   ） 。 检验方法 对于给定的显著水平  ，自由度 (m −1, n −1) ，查表可得 F 分布的临界值 ( 1, 1) F1− m − n − ，使得 P{ F  F1− (m −1, n −1) } = ，从样本求出 2 2 * * y x S S F = 的值， 当 ( 1, 1) F  F1− m − n − 时拒绝 H0 ，否则接受 H0 。 单侧检验与双侧检验的相同和不同之处 （1）单侧检验与对应的双侧检验，检验时所用的统计量完全相同，统计量服从的分布 和自由度也完全相同 ； （2）双侧检验中查分布表求临界值时， p =1− 2 或 p = 2 ，单侧检验中查 分布表求临界值时， p = 1− 或 p =  ，而且只要查出单侧的一个临界值就可以了 ； （3）设在单侧检验中，要检验 H0 ：*  * （备选假设 H1 ：*  * ） ，这时，如 果 检验时所用的统计量  右侧临界值，就拒绝 H0 ，否则就接受 H0 ； （4）设在单侧检验中，要检验 H0 ：*  * （备选假设 H1 ：*  * ） ，这时，如 果 检验时所用的统计量  左侧临界值，就拒绝 H0 ，否则就接受 H0 。 正态总体参数的假设检验 检验 H0 条件 检验时所用的统计量 分布

己知0=00 U--h万 N(0,1) 00 I=40 单 σ未知 T=-也而 t(n-1) 个 S* 总 体 己知4=0 x2-n+X-4 Gi x2(m) G2=6 山未知 G x2(n-1) - U= 01,02已知 N(0,1) m n =42 01, 02未知 ℉-7 两 T=- 个 t(m+n-2) 总 但有01=02 体 F 2+(-4)2 凸，42己知 S+(T-42)2 F(m,n) 0i=02 41,42未知 F(m-1,n-1) S 2)区间估计 区间估计的基本思想 定义设0是总体分布中的未知参数，如果对于一个事先给定的概率1-α（例如 1-a=0.90,1-=0.95或1-=0.99)，能够找到样本统计量0和0，使得 P{0≤0≤0}=1-α，则称[8,0们为未知参数0的置信区间，称概率1-u为置信水平， 称日为置信下限，称0为置信上限。 单个总体，方差未知时，均值的置信区间 问题设总体5~N(4,σ2)，其中O>0未知，(X1,X2,,X,n)是5的样本，要 100

100 单 个 总 体  = 0 已知  =  0 n X U 0 0  −  = N(0, 1)  未知 n S X T * −  0 = t(n −1) 2 0 2  =  已知  = 0 2 0 2 0 2 2 ( )    + − = nS n X ( ) 2  n  未知 2 0 2 2   nS = ( 1) 2  n − 两 个 总 体  1=  2  1， 2 已知 m n X Y U 2 2 2  1  + − = N(0, 1)  1， 2 未知 但有  1 =  2 m n S X Y T w 1 1 + − = t(m + n − 2) 2 2 2  1 =  1， 2 已知 2 2 2 2 1 2 ( ) ( )   + − + − = S Y S X F y x F(m, n) 1， 2 未知 2 2 * * y x S S F = F(m −1, n −1) 2）区间估计 区间估计的基本思想 定义 设  是总体分布中的未知参数，如果对于一个事先给定的概率 1− （例如 1− = 0.90 ， 1− = 0.95 或 1− = 0.99 ）,能够找到样本统计量  和  ，使得 P{     } = 1− ，则称 [  ,  ] 为未知参数  的置信区间，称概率 1− 为置信水平， 称  为置信下限，称  为置信上限。 单个总体，方差未知时，均值的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中   0 未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要

求u的水平为1-a的置信区间。 分析推导 9三求-L0n-),日=X+gn-[g,就是u的水平为一￡ n 置信区间。 单个总体，均值未知时，方差的置信区间 问题设总体5~N(4,o2),其中4未知，(X,X2,…,Xn)是5的样本，要求o 的水平为1-的置信区间。 0= nS2 X%n-D,包可就是。2的水平为1-公的置信区间。 ns2 o的水平为1-a的置信区间为[V厄，V]。 两个总体，方差但相等时，均值之差的置信区间 问题设总体5~N(41,O),7~N(42,O),其中σ1，O2都未知，但己知 o1=o2,（X1,X2,…,Xm）,(Y,Y2,…,Yn)分别是5，n的样本，两个样本相互独 立，要求41-42的水平为1一的置信区间。 令 g--1-gm*a-2s+0--7+4%m*n-2s偏+ [已，]就是41-42的水平为1-C的置信区间。 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间 问题设总体5~N(4,σ)，n~N(42,σ2)，其中41,42都未知， (X,X2,…,Xm),(Y,Y2,…,Yn)分别是5,7的样本，两个样本相互独立，要求 o2/o?的水平为1-x的置信区间。 101

101 求  的水平为 1− 的置信区间。 分析推导 n S X t n * ( 1) 2 1 = − −  − ， n S X t n * ( 1) 2 1 = + −  − ，[  ,  ] 就是  的水平为 1− 的 置信区间。 单个总体，均值未知时，方差的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N   ，其中  未知， ( , , , ) X1 X2  Xn 是  的样本，要求 2  的水平为 1− 的置信区间。 ( 1) 2 2 1 2 − = − n nS    ， ( 1) 2 2 2 − = n nS    ，[  ,  ] 就是 2  的水平为 1− 的置信区间。  的水平为 1− 的置信区间为 [  ,  ] 。 两个总体，方差但相等时，均值之差的置信区间 问题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ， ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中  1， 2 都未知，但已知  1 =  2 ，（ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独 立，要求 1 − 2 的水平为 1− 的置信区间。 令 m n X Y t m n Sw 1 1 ( 2) 2 1 = − − + − +  − ， m n X Y t m n Sw 1 1 ( 2) 2 1 = − + + − +  − ， [  ,  ] 就是 1 − 2 的水平为 1− 的置信区间。 两个总体，均值未知时，方差之比的置信区间 问 题 设总体  ～ ( , ) 2 N 1  1 ，  ～ ( , ) 2 N  2  2 ，其中 1 ， 2 都未知， （ X X X m , , , 1 2  ） ，（ Y Y Yn , , , 1 2  ）分别是  ， 的样本，两个样本相互独立，要求 2 2 2  1  的水平为 1− 的置信区间

S*2/S*2 令-F以m-1n- ，8= S2/S*2 Fy(m-Ln-1) [旦，可就是o/o?的水平为1-a的置信区间。 区间估计的一般步骤 从上面几种情况的例子中，我们可以总结出区间估计的一般步骤为： (1)选取一个含有未知参数日的随机变量U: (2)对于给定的置信水平1-α，查U的分布表，象在假设检验中一样，求出临界 值，用它划分接受域W。和拒绝域W,使得P{U∈W。}=1-a: (3)把U∈W。等价变换成0≤0≤0，得到P{0≤0≤0}=1-a,区间 [旦，列就是未知参数日的水平为1-α的置信区间。 表7-2正态总体参数的置信区间 待估 参数 条件 置信区间[日，列 分布 己知0=00 旦，0=X年4-%n 0 N(0,1) L 28=1 S* 0未知 t(n-1) 单 个 e=nS+m-o) 总 4 体 己知4=0 a=m2+m7-42 x2(n) 02 s2 !未知 0=- , 0=ns2 x2(n-1) 两 01,02已知 旦，0=X-了干4-% oioi N(0,1) m n 总 4142 01,02未知 体 g--7 t(m+n-2) 但有01=02 102

102 令 ( 1, 1) * * 2 1 2 2 − − = − F m n Sx S y   ， ( 1, 1) * * 2 2 2 − − = F m n Sx S y   ， [  ,  ] 就是 2 2 2  1  的水平为 1− 的置信区间。 区间估计的一般步骤 从上面几种情况的例子中，我们可以总结出区间估计的一般步骤为： （1）选取一个含有未知参数  的随机变量 U ； （2）对于给定的置信水平 1− ，查 U 的分布表，象在假设检验中一样，求出临界 值，用它划分接受域 W0 和拒绝域 W1 ，使得 P{U W0 } =1− ； （3）把 U W0 等价变换成      ，得到 P{   } =1− ，区间 [ , ] 就是未知参数  的水平为 1− 的置信区间。 表 7-2 正态总体参数的置信区间 待估 参数 条件 置信区间 [  ,  ] 分布 单 个 总 体  已知  =  0  ,  n X u 0 2 1  =  − N(0, 1)  未知  ,  n S X t * 2 =  1− t(n −1) 2  已知  = 0 2 2 1 2 0 2 ( )     − + − = nS n X 2 2 2 0 2 ( )     + − = nS n X ( ) 2  n  未知 2 2 1 2    − = nS ， 2 2 2    nS = ( 1) 2  n − 两 个 总 体  1− 2  1， 2 已知  ,  m n X Y u 2 2 2 1 2 1   = −  + −  N(0, 1)  1， 2 未知 但有  1 =  2  ,  m n X Y t Sw 1 1 2 1 = − +  − t(m + n − 2)