二.梯度 设二元函数z=r(x,y)在平面区域)内具有一阶连续偏导数 那么,对于任取的xy?D,都可对应地定义一个向量 22x+2y,这个向量称为函数+r(s,y)在点x,y的梯度, 记作gra(x,y)=2x+2 对于三元函数u=r(x,y,,)可相应地定义它在点p(x,y,z)?9 的梯度 2f of?f gradf(x y, 2)- 223+ik
二．梯度 设二元函数z = f(x, y ）在平面区域D 内具有一阶连续偏导数， 那么，对于任取的 P(x, y) ? D ，都可对应地定义一个向量 j y f i x f ? ? + ? ? ，这个向量称为函数z = f(x, y ）在点p(x, y)的梯度， 记作gradf(x, y)= j y f i x f ? ? + ? ? 对于三元函数u = f(x, y,z,)可相应地定义它在点 p(x, y,z)? W 的梯度 gradf(x, y,z)= j y f i x f ? ? + ? ? + k z f ? ?
对应于Px,y)?D或p(x,y,2)?9中的一点,f(p)确定了一个数。 因此,对于整个P(x,y)?D或p(x,y,2)?9,r(p)分别在平面或 空间区域内确定了一个数量场。相应地, gradf(p)是数量场f(p) 对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度 场 函数z=(x,y)的方向导数2=2c9+251n ?61?x 2f?f Acos o, sin g=gradf(x, y)?e ? gradf(x,y) cos gradf(x,y)3,e),其中e为方向的单位向量
对应于P(x, y) ? D 或p(x, y,z)? W 中的一点，f(p)确定了一个数。 因此，对于整个P(x, y) ? D 或p(x, y,z)? W ，f(p)分别在平面或 空间区域内确定了一个数量场。相应地，gradf(P)是数量场f(p) 对应的向量场。这种由数量场的梯度构成的向量场称为梯度 场。 函数z = f(x, y ）的方向导数 ?l ?f = x f ? ? cos f + y f ? ? sin f ={ x f ? ? ， y f ? ? }{cos f ，sin f }=gradf(x, y)? e = gradf(x, y)cos(gradf(x, y) ,e) ? ，其中e为l方向的单位向量
由此可见 1.方向导数就是梯度 radf(x,y在射线c上的投影; 2.沿梯度方向的方向导数达到最大值,其值为梯度的模 gradf(x, y) (梯度方向是各方向中方向导数最大的方向,那就是说,梯 度方向是函数r(x,y在点(x,y 增长最快的方向)。三元函数有类似的结论。 3。由gadn,y2=21+2可知, 2x f 从x轴正向到梯度方向转角的正切为tan=y
由此可见 1．方向导数 ?l ?f 就是梯度 gradf(x, y)在射线 l上的投影； 2．沿梯度方向的方向导数达到最大值，其值为梯度的模 gradf(x, y)= 2 2 ( ) ( ) y f x f ? ? + ? ? （梯度方向是各方向中方向导数最大的方向，那就是说，梯 度方向是函数 f(x, y)在点(x, y) 增长最快的方向）。三元函数有类似的结论。 3。由 gradf(x, y)= j y f i x f ? ? + ? ? 可知， 从 x 轴正向到梯 度方向转角的正切为 x f y f ? ? ? ? tan q = = x y f f
而z=f(x,y)所表示的曲面与平面z=c的交线r(x,y)=c满足 .+.y=0,曲线(s,y)=c的切线的斜率=,从而曲 dx dx 线r(x,y)=c的法线的斜率,曲线fx,y)=c称为等高线 由此可见,函数=x,y的梯度方向就是等高线f(x,y)=c的法 线方向,其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高 线。 三元函数有类似的结论:即三元函数=f(x,y,z,)的梯度方向 就是等值面r(x,y,z)=c的法线方向,其指向是从数值较低的等 值面指向数值较高的等值面
而z = f(x, y)所表示的曲面与平面 z = c 的交线f(x, y)=c 满足 + = 0 dx dy fx fy ，曲线f(x, y)=c 的切线的斜率dx dy = y x f f - ，从而曲 线f(x, y)=c 的法线的斜率dx dy = x y f f ，曲线f(x, y)=c 称为等高线， 由此可见，函数z = f(x, y)的梯度方向就是等高线f(x, y)=c 的法 线方向，其指向是从数值较低的等高线指向数值较高的等高 线。 三元函数有类似的结论：即三元函数u = f(x, y,z,)的梯度方向 就是等值面f(x, y,z)=c 的法线方向，其指向是从数值较低的等 值面指向数值较高的等值面