西安电子科技大学：《高等代数》课程PPT教学课件（讲稿）第七章 线性变换 7.6 线性变换的值域与核

定义2：线性变换α的值域(V)的维数称为的秩；的核α-(0)的维数称为的零度例1、在线性空间P[x],中，令D(f(x)= f(x)D(P[x],)= P[x]n-1'则D-i(0) = P所以D的秩为n一1，D的零度为1.87.6线性变换的值域与核A

§7.6 线性变换的值域与核 定义2：线性变换  的值域  ( ) V 的维数称为  的秩； 的核 的维数称为 的零度. 1  (0) −   例1、在线性空间 P x[ ]n 中，令 D f x f x ( ( ) ( ) ) = 则 ( ) 1 [ ] [ ] , D P x P x n n = − 1 D P (0) − = 所以D的秩为n－1，D的零度为1

二、 有关性质1.（定理10）设α是n维线性空间V的线性变换，8i,82，,8n是V的一组基，α在这组基下的矩阵是A，则1）α的值域α(V)是由基象组生成的子空间，即0(V) = L(o(81),0(82),.*,0(8n))2）的秩=A的秩67.6线性变换的值域与核K?

§7.6 线性变换的值域与核 1. (定理10) 设  是n维线性空间V的线性变换，    1 2 , , , n 是V的一组基，  在这组基下的矩阵是A， 则 1）  的值域  ( ) V 是由基象组生成的子空间，即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L = ( 1 2 n ) 2）  的秩＝A的秩. 二、有关性质

证:1) V5eV, 设 5=X6+X6,+...+x,en于是 0()= x,o(e)+x,0(c,)+...+x,o(cn)E L(o(c)),0(c2),.,0(8n)即o(V)≤ L(α(c)),o(,),..,o(cn)又对 Vx,o(e))+x,0(c2)+...+x,o(en)有 Xo(c))+x,0(c2)+...+x,o(cn)=o(xe +Xe, + ...+xnen)eo(V)87.6线性变换的值域与核V

§7.6 线性变换的值域与核  L(      ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ) 即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L  ( 1 2 n ) 又对 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n  + + + x x x       1 1 2 2 ( ... ) ( ) n n = + + +       x x x V 证：1）   V, 设 1 1 2 2 , n n     = + + + x x x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 于是         = + + + x x x 有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n x x x       + + +

.:: L(o(c)),0(8,),.",o(en))二0(V).因此, 0(V) = L(o(81),o(ε2),.",0(cn),2）由1），α的秩等于基象组(s),(s,),,α(sn)的秩，又(o(81),0(c2),.*,0(cn)) =(81,82,**,8n,)A.由第六章5的结论3知，(1),α(2),",α(n）的秩等于矩阵A的秩 秩(α)=秩(A).67.6线性变换的值域与核区区

§7.6 线性变换的值域与核   L V (       ( ), ( ), , ( ) ( ). 1 2 n ) 因此，        ( ) ( ), ( ), , ( ) . V L = ( 1 2 n ) 的秩，又 (         ( ), ( ), , ( ) ( , , , ) . 1 2 1 2 , n n ) = A ∴ 秩 ( )  ＝秩 ( ). A 等于矩阵A的秩. 2）由1），  的秩等于基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 由第六章§5的结论3知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 的秩