3、多元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(xo,Jo)具有偏导数，且在点(x,yo)处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fr(xo,yo)=0,f,(xo,yo)=0.证不妨设z= f(x,y)在点(xo,yo)处有极大值,则对于(xo,J)的某邻域内任意(x,y) ±(xo,yo) 都有f(x,y)<f(xo,yo)
定理 1（必要条件） 设函数z = f ( x, y)在 点( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且 在 点( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必 然为零： f x (x0 , y0 ) = 0， ( , ) 0 f y x0 y0 = . 3、多元函数取得极值的条件 不妨设z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处有极大值, 则对于( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 (x, y) ( , ) 0 0 x y 都有 f (x, y) ( , ) 0 0 f x y , 证
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点注意：驻点极值点例如，点(0,0)是函数z=xy的驻点，但不是极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理2（充分条件）设函数z=f(x,)在点(xo,yo)的某邻域内连续有一阶及二阶连续偏导数
例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为 零的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数z = f ( x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 注意：
例4求由方程x2+2+z2-2x+2y-4z-10=0确定的函数z= f(x,)的极值解将方程两边分别对x，y求偏导2x+2z·z-2-4z*=02y+2z·z,+2-4z,=0驻点为P(1,-1)由函数取极值的必要条件知，将上方程组再分别对xy求偏导数
例 4 求由方程x y z 2x 2 y 2 2 2 + + − + − 4z − 10 = 0确定的函数z = f ( x, y)的极值 将方程两边分别对x, y求偏导 + + − = + − − = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y 求偏导数, 解