第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质
第四章 不定积分 第一节 不定积分的 概念与性质
第一节不定积分的概念与性质一、原函数的概念二、不定积分的概念三、不定积分的性质四、基本积分公式五、直接积分法
第一节 不定积分的 概念与性质 一、原函数的概念 二、不定积分的概念 三、不定积分的性质 四、基本积分公式 五、直接积分法
一、原函数的概念定义：如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即VxEI，都有F(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或f(x)dx在区间I内原函数例(sinx)=cosxsinx是cosx的原函数(Inx) =1(x>0)x1Inx是二在区间(0,+80)内的原函数x
例 (sin x) = cos x sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln = x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数的概念
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间I内连续那么在区间I内存在可导函数F（x)使VxEI，都有F'(x)=f(x)简言之：连续函数一定有原函数问题：（1)原函数是否唯一？(2)若不唯一它们之间有什么联系？例 (sinx) =cos x(sinx+C) = cos x（C为任意常数）
原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ 例 (sin x) = cos x (sin x C) = cos x + （ C 为任意常数） 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x I，都有F(x) = f (x). (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
关于原函数的说明：（1）若F(x)=f(x），则对于任意常数F(x)+C都是f(x)的原函数的原函(2）若F(x)和G(x)都是f(x)数，则 F(x)-G(x)=C（C为任意常数）证 ：: [F(x)-G(x)} =F(x)-G'(x)= f(x)- f(x)= 0（C为任意常数）F(x)-G(x)=C
关于原函数的说明： （1）若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. （2）若 和 都是 的原函 数， F(x) G(x) f (x) 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x) − = f (x) − f (x) = 0 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数）