第十一章第六节*通量与散度高斯公式推广公式公式GaussGreen一、高斯公式二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件X三、通量与散度
第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十一章
一、高斯（Gauss）公式定理1.设空间闭区域Q由分片光滑的双侧闭曲面习所围成函数P.QR在Q上有连续的.L.I一阶偏导数，则有.aR.(C)dxdydz_Pdydz+Qdzdx+ Rdxdy（Gauss公式）其中取外侧下面先证aRSS.dcdyozisfRdxdyaz2高
一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的双侧闭曲 一阶偏导数 , ∭Ω ( ∂ P ∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z ) dxdydz ¿∯Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∭Ω ∂ R ∂ z dxdydz¿∯Σ Rdxdy 下面先证: 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 上有连续的 则有 (Gauss 公式) 高斯 其中 取外侧
证明：设Q:Z(×,y)≤ z(x,y)≤Z(x, y) , (x, y)ED7称为XY-型区域， Z= ,UZ2UZ3，Z,:z= Z(X,y)，Z2: Z= Z2(X, y), 则22aR3(x) aRSS.dxdydz=Jb,dxdy 「dzWWazz(x,y) az2pw{ R(x,y,Z2(x,y))0xyyDxy-R(x,y,z(x, y)) }dxdyX$f _ Roxdyi,+, +）RdxdyJR(x,y, Z2(x, y) )dxdy - JJ,R(x,y, Zi(x,y))dxdyxyXy定理1
Σ2 Σ3 Σ1 z y x Dxy O { R( x, y, ) − R( x, y, ) } dxdyΣ1 : z= z1 ( x, y) , 证明: 设 Ω: z1 ( x, y)≤ z( x, y)≤ z2 ( x, y) , ( x, y)∈Dxy Σ= Σ1 ∪Σ2 ∪Σ3 , ∫ z 1 ( x, y) z 2 ( x, y) ∂ R ∂ z dz =∬Dxy z2 ( x, y) z1 ( x, y) ∯ Σ Rdxdy =∬Dxy ¿( ∬Σ2 ∭Ω ∂ R ∂ z dxdydz dxdy +∬Σ1 +∬Σ3 ) Rdxdy 称为XY -型区域 , Σ2 : z= z2 ( x, y), 则 R( x, y, )dxdy −∬Dxy =∬Dxy z2 ( x, y) R( x, y, z1 ( x, y) )dxdy 定理1
aRacdyozisfSS.o2所以RdxdyZ若Q不是XY-型区域，则可引进辅助面将其分割成若干个XY-型区域，在辅助面正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立aPSSdxcydz isf类似可证PaydzQax>aQSSddyazisfQdzdxnay2三式相加，即得所证Gauss公式：) dxdydzissPdydz+ Qdzdx + Rdxdy定理1
所以 ∭Ω ∂ R ∂ z dxdydz¿∯Σ Rdxdy 若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 ∭ Ω ∂Q ∂ y dxdydz ¿∯ Σ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ∭ Ω ( ∂ P ∂ x + ∂Q ∂ y + ∂ R ∂ z )dxdydz¿∯ Σ Qdzdx ∭ Ω ∂ P ∂ x dxdydz¿∯ Σ Pdydz 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 定理1
Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系使用Gauss公式时应注意1.P,Q,R是对什么变量求偏导数；2.是否满足高斯公式的条件；3.S是取闭曲面的外侧
Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 使用Gauss公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.S是取闭曲面的外侧