应用换元公式时应注意(一) (1)用x=q(t)把变量x换成新变量时,积分限也 相应的改变 (2)求出fp(t)y()的一个原函数Φ(t)后,不必 象计算不定积分那样再要把Φ()变换成原变量 x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别 代入Φ()然后相减就行了 (3)用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不 换元,当然也就不存在换上下限的问题了
应用换元公式时应注意（一）: （1） 求出 f[(t)](t)的一个原函数(t)后，不必 象计算不定积分那样再要把(t)变换成原变量 x的函数，而只要把新变量 t的上、下限分别 代入 (t)然后相减就行了. （2） 用x = (t)把变量x换成新变量t时，积分限也 相应的改变. （3） 用第一类换元法即凑微分法解定积分时可以不 换元，当然也就不存在换上下限的问题了
又解例1计算 cos xdx 解3 cos xsinxdx cos rsin dx 0 cos cos alcos x 6 CoS 6 0 6 6 6
又解例1 计算 cos sin . 2 0 5 x xdx 2 0 5 cos sin 解 x xdx ( ) = − 2 0 5 cos cos xd x . 6 1 = cos sin . 2 0 5 x xdx t = cos x = − 0 1 5 t dt 1 0 6 6 t = . 6 1 = 2 6 0 1 cos 6 x = −
例2计算sinx- sin xdx 0 f: f(x)=sin x-sin5x=cos x(sin x) T ∴|√sinx- sin xd cosxlsinx2dx T 3 csx(inx)d-」 T cos rising dx 0 2 J2(sin x)2dsinx-(s sInx/ x 2 SInd sIn 5 5
例2 计算 解 sin sin . 0 3 5 x − xdx f x x x 3 5 ( ) = sin − sin ( )2 3 = cos x sin x − 0 3 5 sin x sin xdx ( ) = 0 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 cos x sin x dx ( ) − 2 2 3 cos x sin x dx ( ) = 2 0 2 3 sin x d sin x ( ) − 2 2 3 sin x d sin x ( ) 2 0 2 5 sin 5 2 = x ( ) − 2 2 5 sin 5 2 x . 5 4 =
dx 例3计算x、nx(1-1mx) 解原式= d(Inx) √nx(1-lnx) 3 d(Inx) ed√/lnx e√/lnx√(1-Inx) na =2 arcsin(√nx
例3 计算 解 . ln (1 ln ) 4 3 − e e x x x dx 原式 − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 ln (1 ln ) e (ln ) e x x d x − = 4 3 2 1 ( ln ) ln 2 e e x d x 4 3 2 arcsin( ln ) e e = x . 6 =
例4计算 dx.(a>0) x+√a--x 解令x= asin,d= a cos to T X=a→t 2=0→t=0 原式=2 a cos t dt 2 asin t +va(1-sin't) cos t cos t-sin t dt 1(21+ dt 0 sint+ cos t 2 sint+ cos t 22
例4 计算 解 + − a dx a x a x 0 2 2 . ( 0) 1 令 x = asint, x = a , 2 t = x = 0 t = 0, dx = acostdt, 原式 + − = 2 0 2 2 sin (1 sin ) cos dt a t a t a t + = 2 0 sin cos cos dt t t t + − = + 2 0 sin cos cos sin 1 2 1 dt t t t t 2 0 lnsin cos 2 1 2 2 1 + + = t t . 4 =