2.曲线及其投影曲线方程 x=x(t 般方程:,3)=0 参数方程 (t) G(x,y,z)=0 z=z() H(x,y)=0 曲线关于Xoy的投影柱面 空间曲线在xOy面上的投影曲线: H(x,y)=0 =0 yOz面上的投影曲线:x0z面上的投影曲线: R(y,x)=0 ∫T(x,z)=0 x=0 0 K心
2. 曲线及其投影曲线方程 = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 : G x y z F x y z 一般方程 = = = ( ) ( ) ( ) : z z t y y t x x t 参数方程 H(x, y) = 0 曲线关于 xoy 的投影柱面 = = 0 ( , ) 0 z H x y 空间曲线在 xoy 面上的投影曲线: = = 0 ( , ) 0 x R y z yoz 面上的投影曲线: = = 0 ( , ) 0 y T x z xoz 面上的投影曲线:
3.二次型及标准形与矩阵表示 (1)f(x1,x2,…,xn)=a1x12+2a12x1x2+…+2a1nx1xn a 22 +2a2x2x3+…+2a2nxxX 2 a n-1,n-1-n-1 +2 n-lmtn-1xn 2 +a, 11 n 12 22 2n 12 x Ar n K心
3. 二次型及标准形与矩阵表示 ( ) 2 1, 1 2 1, 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 (1) , , , 2 2 nn n n n n n n n n n n n n n a x a x a x x a x a x x a x x f x x x a x a x x a x x + + + + + + + + = + + + − − − − − x Ax x x x a a a a a a a a a x x x n n nn n n n n = = 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2
(2)f(n1,y2…,yn)=k1+k2n+…+kny2 k1 2 0y2 kn八Jn (3)设有n阶方阵4与B,若存在可逆矩阵C使得 CAC=B 则称A合同于B记为A△B K心
( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 1 (2) , , , n n n f y y y = k y + k y ++ k y y By y y y k k k y y y n n n = = 0 0 0 0 0 0 ( , , , ) 2 1 2 1 1 2 . ~ . (3) , A B A B C AC B n A B C 则称 合同于 记为 设有 阶方阵 与 若存在可逆矩阵 使得 =
4.正定二次型及判别法 无论作怎样的可逆线性变换,由二次型f=xAx 得到的标准形中,正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的.且p+g=-(4) 定义对于实二次型∫=x4x,若vx(≠0)∈R都有 (1)xAx>0,则/为正定二次型,A为正定矩阵; (2)xAx<0,则/为负定二次型,A为负定矩阵 K心
4. 正定二次型及判别法 无论作怎样的可逆线性变换, 由二次型 f = xAx 得到的标准形中, 正平方项的项数p与负平方项 的项数q是唯一确定的. 且 p+q=r(A). 定义. 对于实二次型 f = xAx, 若x( 0) R n都有 (1) xAx 0,则f为正定二次型, A为正定矩阵; (2) xAx 0,则f为负定二次型, A为负定矩阵
判定法 定理.(1)实二次型f=xAx正定 台A的所有顺序主子式全大于0 (2)实对称矩阵4正定 A的特征值全大于0 (3)实二次型∫=xAx负定 分A的奇数阶顺序主子式全小于0, 偶数阶顺序主子式全大于0 K心
判定法 定理. 0. (1) 的所有顺序主子式全大于 实二次型 正定 A f x Ax = 0. (2) 的特征值全大于 实对称矩阵 正定 A A 0 0, (3) 偶数阶顺序主子式全大于 的奇数阶顺序主子式全小于 实二次型 负定 A f x Ax =