limla,=lim 根据级数的根式判别法，当”|X长1时，级数 8anx”|收做.省r|x下1时，级款发数.于是 n=0 ()省0<r<+￥时，由”|x长1得幂级数(2)收做半 经R= ()当r=0时，对任何x皆有r|xK1,所以R=+￥； 当r=+￥时，则对除x=0外的任何x皆有 r|x>1,所以R=0
前页 后页 返回 根据级数的根式判别法, 当 时, 级数 收敛. 当 时, 级数发散. 于是 (i) 当 时, 由 得幂级数(2)收敛半 径 (ii) 所以 (iii)
的所有系数 定理14.2若幂级数 □anx” 4n□0 n☐0 设 lim 0口 liman包□ n口目 an n (1)则当r10时， ;(2)当口■0R (3) R口0 证明 对级数？4nx"应用达朗贝尔判别法 n=0 lim +1K+l lim n+1 x=rx, ®￥ 0n" n® an 前页
前页 后页 返回 证明
(1) 如果im +1 =r（r10)存在， n®￥ an 由比值审敛法，当xK时，级数ax收敛， n=0 从而级数anx"绝对收敛， 10 当1xP'时，级数1a,x发散， ￥ n=0 并且从某个n开始an1x"1anx”,anx"图0 从而级数且ax发散.收敛半径R=1; n=0 前页
前页 后页 返回 由比值审敛法
(2) 如果r=0,"x10, 有 n+1"1 a xm ®0(n®￥)，级数|anx”I收敛， n=0 从而级数员4nx"绝对收敛.收敛半径R=+￥； n=0 (3) 如果r=十￥，"x10, 有 ®￥(n®￥)，级数anx"必发散。 n=0 收敛半径R=0. 前过
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例1求下列幂级数的收敛域： (2)a(x)”;(3)a n=1 n n=1 解（山）Qr=ima1=im n =1 n®￥ an n®￥n+1 \R=1 当x=1时，级数为a (1)” 该级数收敛； n=1 n 当x=-时，级数为 该级数发散； n=1 n 故收敛域是(-1
前页 后页 返回 例1 求下列幂级数的收敛域: 解 该级数收敛; 该级数发散;