a=f()dx ["f(x)coskxdx= coskxdx 2J-元 +2[出：4山 =axcos-kxdx=akπ (利用正交性) .a6=∫f(x)coskxdx(k=1,2,.) 类似地，用sinkx乘①式两边，再逐项积分可得 6-wsn如k=12
kx x a f x kx x cos d 2 ( )cos d π π 0 π π n 1 a kx nx x n cos cos d π π b kx nx x n cos sin d π π a kx x k cos d π π 2 a f x kx x k ( )cos d π 1 π π ( k 1, 2, ) (利用正交性) ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 π π b f x kx x k k a f (x)d x 1 π π 0 类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得
00 fx)=2 an cosnx+b sin nx) ① n= a.=/)cosndx (n=0,l） ② f()sinnxdx (n=1,2,.) 不 由公式②确定的an,bn称为函数 f(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 f(x)的傅里叶级数 傅里叶，J.B.J
叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x π π ( )cos d ( 0,1, ) π 1 an f x nx x n 由公式 ② 确定的 ① ② 以 π π ( )sin d ( 1, 2, ) π 1 bn f x nx x n 的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数 简介
定理3（收敛定理，展开定理） 设f(x)是周期为2元的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 2)在一个周期内只有有限个极值点 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多 - f(x), x为连续点 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数 ,(证明略
定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2 的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 f (x) , , 2 ( ) ( ) f x f x x 为间断点 其中 an bn , 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多. 简介
例1.设f(x)是周期为2元的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 = π≤x<0 0≤x<元 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 ()cdx -（-+1 c 7 =0 (n=0,1,2
y x 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为 1, 0 π 1, π 0 ( ) x x f x 解: 先求傅里叶系数 π 0 0 π 1 cos d π 1 ( 1)cos d π 1 nx x nx x 0 ( n 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. O 1 1 π π
()sin dx =（-0 sn+g1 in +-时 -]-同 当n=1,3,5, 当n=2,4,6, f-snx+n3x+中 sin(2k-1)x+.] 入 (-0<x<+0,x≠0，土π，±2元，.)
0 0 1 1 ( 1)sin d 1 sin π π d π π nx x nx x 0 1 cos π π nx n 0 1 cos π π nx n 2 1 cos π π n n 2 1 ( 1) π n n 0 , 当n 2 , 4 , 6 , 4 ( ) sin π f x x sin 3x 3 1 k x k sin(2 1) 2 1 1 ( , 0 , , 2 , ) x x π π