江画工太猩院 例1求∫x:t 解 =x,∴x次=+C. 例2求∫1 2 1+x 解:( arctan x 1+x l,dx=arctan+C
江西理工大学理学院 例1 求 . 5 ∫ x dx 解 , 6 5 6 x x = ′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Q . 6 6 5 C x ∴ x dx = + ∫ 解 例2 求 . 1 1 2 ∫ + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =′ Q arctan . 1 1 ∫ 2 = + + ∴ dx x C x
江画工太猩院 例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知 dy 2x 即f(x)是2x的一个原函数 ∫2d=x2+C,∴f()=x+C, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
江西理工大学理学院 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dxdy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2 ∫ Q xdx = x + C ( ) , 2 ∴ f x = x + C 由曲线通过点（1，2）⇒ C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +
江画工太猩院 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线 显然,求不定积分得到一积分曲线族 由不定积分的定义,可知 F(x)dr= F(x)+c, dF(x)=F(x)+C 结论:微分运算与求不定积分的运算是互逆的
江西理工大学理学院 函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x)的积分曲线. 显然，求不定积分得到一积分曲线族. 由不定积分的定义，可知 [ f (x)dx] f (x), dxd = ∫ d[ f(x)dx]= f(x)dx, ∫ ( ) ( ) , ∫ F′ x dx = F x + C ( ) ( ) . ∫ dF x = F x + C 结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的
江画工太猩院 二、基本积分表 +1 买例/ y x→x" to + 1+1 ≠ 启示能否根据求导公式得出积分公式? 结论既然积分运算和微分运算是互逆的,因 此可以根据求导公式得出积分公式
江西理工大学理学院 实例 µ µ µ x x = ′ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ++11 . 11 C x x dx + µ + ⇒ = µ+ µ ∫ 启示 能否根据求导公式得出积分公式？ 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. (µ ≠ −1) 二、 基本积分表
江画工太猩院 1()M=kc+C(是常数 (2)|x"=+C(≠-1); μ+1 (3)|-=ln|x|+C; 说明:x>0,→=mx+C, x<0,|l(-x)=-(-x) =ln(-x)+C, =Inx+C) 简写为(=m1xH+C
江西理工大学理学院 基 本 积 分 表 ∫ ( 1 ) kdx = kx + C ( k是常数); ( 1); 1 ( 2 ) 1 + µ ≠ − µ + = µ + µ ∫ C x x dx ( 3 ) ln | | ; ∫ = x + C x dx 说明： x > 0 , ⇒ ln , ∫ = x + C x dx x < 0 , [ln( − x ) ]′ = , 1 ( ) 1 x x x − ′ = − ln( ) , ∫ ⇒ = − x + C x dx ln | | , ∫ ∴ = x + C x dx 简写为 ln | | . ∫ = x + C x dx