3随机变量函数的数学期望 问题的提出: 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是x 的期望,而是X的某个函数g(功的期望. 那么应该如何计算呢?
问题的提出： 那么应该如何计算呢？ 设已知随机变量X 的分布，我们需要计算的不是X 的期望， 而是X 的某个函数g(X)的期望. 3 随机变量函数的数学期望
引例分析 Ⅹ0123 P0.403020.1 X20149 E(X)0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1 E(X2)=0×0.4+1×0.3+4×0.2+9×0.1=2
引例分析 X P X2 0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 0.1 0 1 4 9
一般情况 g(x) g(x) g(x))g(x,)g(x) p PI p2 p3 p4 E(Y=E(g(X)=g(X,p, +(x2)p2+g(xn )p
一般情况 x g(x) p x1 x2 x3 x4 g(x1 ) g(x2 ) g(x3 ) g(x4 ) P1 p2 p3 p4
对于连续型随机变量 +00 E(g(x))= g(x)f(x)dx 定理:p1l5 ∑g(x),X离散型 E(Y)=EIg(X)1= k=l g(x)f(x)x,X连续型
对于连续型随机变量 定理 :p115 1 ( ) , ( ) [ ( )] ( ) ( ) , k k k g x p X E Y E g X g x f x dx X = − = = 离散型 连续型
定理 若(X,Y是二维随机变量,g(x,y)是二元连续函数, Z g(x, y) (1).若(X,Y)的分布律为PX=x,y=y}=P, 且∑g(x,y)P绝对收敛;则EZ∑g(x1,y1)P。 1,J l,J=1 (2)若(X,)的概率密度为f(x,y), ++0 且∫∫8(x,y)/(xy)d绝对收敛, 则Z ∫∫g(xy)/(x,y)bdh
若(X,Y)是二维随机变量，g(x, y) 是二元连续函数， (1). 若(X,Y)的分布律为 i j Pi j P{X = x ,Y = y } = ， (2). 若(X,Y)的概率密度为 f (x, y)， 则 Z= g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 。 定理 Z = g(x, y) 且 , =1 ( , ) i j i j Pi j g x y 绝对收敛；则 EZ= , =1 ( , ) i j i j Pi j g x y 。 且 g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 绝对收敛