向量组线性关系的判定 线性相关与线性无关的概念都是针对 特定的向量组a1a2L,am而言的,当我们考 虑到向量空间中两种基本运算的结合物一线性 组合k1+k2C2+Lkna,时,其结果为向量空 间中的一个特殊向量一一零向量,那么,一个 自然的问题是:是否存在一组不全为零的数 n 也使得其线性组和为零向量 答案只有两种:存在或不存在这样,也就自 然而然地提出了线性相关与线性无关的概念,若 存在,则称该向量组线性相关;若不存在,则称
1 2 1 1 2 2 1 2 , , , , , , . m m m m k k k k k k − − + + L L L 线性相关与线性无关的概念都是针对一个 特定的向量组 而言的，当我们考 虑到向量空间中两种基本运算的结合物 线性 组合 时，其结果为向量空 间中的一个特殊向量——零向量，那么，一个 自然的问题是：是否存在一组不全为零的数 ，也使得其线性组和为零向量？ 答案只有两种：存在或不存在这样，也就自 然而然地提出了线性相关与线性无关的概念，若 存在，则称该向量组线性相关；若不存在，则称 一、向量组线性关系的判定
该向量组线性无关,所谓不存在,指的是当且仅 ki=k2=L 0 时,才有 kIa+k2a2+l kmam=O 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的 概念来体现,即看其中有无某个向量(不是任意 个向量,可由其余向量线性表出?此外,还应注 意到:线性相关与线性无关是一对排中对立的概 念,据此,在论证某些相关性问题时,我们往往 采用反证法。 研究这一类问题,一般有两种方法。 方法一:从定义出发
1 2 1 1 2 2 0 , ( ) m m m k k k k k k = = = = + + = O L L 该向量组线性无关，所谓不存在，指的是当且仅 当 时 才有 线性相关与线性无关还可以通过线性表出的 概念来体现，即看其中有无某个向量 不是任意一 个向量 ，可由其余向量线性表出？此外，还应注 意到：线性相关与线性无关是一对排中对立的概 念，据此，在论证某些相 关性问题时，我们往往 采用反证法。 研究这一类问题，一般有两种方法。 方法一：从定义出发
k,a,+k,a2+L +kam=o C11 C21 0 k au +k ain a2n 0 整理得线性方程组 Lanki+a21k2++amkm=0 auk+a22k2+L +amkm=0 LLLLL aimk+arnk2+l +ammkm=o 若线性方程组(*)只有唯一零解,则a122,L an线性无关;若线性方程组(*)有非零解,则a1,a2, L,a线性相关
1 1 2 2 11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 m m m m m n n mn m m m m n n mn m k k k a a a a a a k k k a a a a k a k a k a k a k a k a k a k a k + + + = + + + = + + + = + + + = + + + = α α L α 0 L M M M M L L LLLLL L 令 整理得线性方程组 1 2 1 2 (*) (*) , , , ( ) , , , , . m m α α α α α α L L 若线性方程组 只有唯一零解，则 线性无关；若线性方程组 有非零解 则 线性相关
方法二:利用矩阵秩与向量组秩之间的关系判定 给出一组n维向量a1,a2L,an,就得到一个 相应的矩阵A=(a1,a2,L,∝n),首先求出R(A);若 R(4)=m,则a1202L,线性无关;若R(4)<m, 则a1,a2,L,an线性相关
1 2 1 2 1 2 1 2 , , , ( , , , ) ( ) ( ) , , , ( ) , , , m m m m n R R m R m = = α α α A α α α A A α α α A α α α L L L L 方法二：利用矩阵秩与向量组秩之间的关系判定 给出一组 维向量 ，就得到一个 相应的矩阵 ，首先求出 ；若 ，则 线性无关；若 ， 则 线性相关
例1.研究下列向量组的线性相关性 0 -2 解:令k1+k2a2+ka 即:k1-2+k22+k30|=0 3 k1-k3=0 整理得 2k1+2k2=0 3k1-5k2+2k3=0 Q线性方程组(*)的系数行列式220=0
1 2 3 1 0 1 2 , 2 1. , 0 3 5 2 − = − = = − α α α 例 研究下列向量组的线性相关性 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3 1 0 1 0 2 2 0 0 3 5 2 0 0 2 2 0 ( ) 3 5 2 0 1 0 1 ( ) 2 2 0 0 3 5 2 k k k k k k k k k k k k k + + = − − + + = − − = − + = − + = − − = − α α α O Q 令 即： 整理得： 线性方程组 的系数行列式 解：