第六章二次型 本章主要讨论二次型的基本概念及 二次型的标准化问题
第六章 二次型 本章主要讨论二次型的基本概念及 二次型的标准化问题
§6.1二次型及其标准化 §6.2用配方法化二次型为标准型 §6.3正定二次型
§6.1 二次型及其标准化 §6.2 用配方法化二次型为标准型 §6.3 正定二次型
第一节二次型及其标准化
第一节 二次型及其标准化
定义.含有n个变量x1,x2…,xn的二次齐次函数 fo +a2x2+…+a nn n +2a12x1x2+2a13x1x3+.+2a 称为二次型 取 则2ax.x,=ax,x:+axx 于是()式可写成 a x2+…+a1nx1x +a21x 2x1 +a22x2t.+a2nx2x
1 2 2 2 2 1 2 11 1 22 2 12 1 2 13 1 3 1, 1 , ,..., ( , ,..., ) ... 2 2 ... 2 (1) . , 2 n n nn n n n n n ij ji ij i j ij i j ji j i n x x x f x x x a x a x a x a x x a x x a x x a a a x x a x x a x x − − = + + + + + + + = = + 含有 个变量 的二次齐次函数 称为二 定 次型 取 则 义. 2 11 1 12 1 2 1 1 2 21 2 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 , 1 (1) ... ... ............... (2) ... n n n n n n n n n nn n ij i j i j f a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x = = + + + + + + + + + + + + = 于是 式可写成
关于二次型要讨论的主要问题是:寻求可逆线性 变换 x,=Cuvi+ cl2y2 C21V1+C22y (3) iVI 十C,+..+Cy 使二次型只含平方项,也就是将(3)代入(1),能使 k,y2+k,y2+.+k 这种只含平方项的二次型,称为二次型的标准形 (或法式) 当an为复数时,f称为复二次型;当an为实数时 f称为实二次型
1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 ... ... (3) ............... ... (3) (1) n n n n n n n nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y f k y = + + + = + + + = + + + = 关于二次型要讨论的主要问题是：寻求可逆线性 变换 使二次型只含平方项，也就是将 代入 ，能使 2 2 2 1 2 2 ... n n ij ij k y k y a f a f + + + 这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准形 （或法式）。 当 为复数时， 称为复二次型；当 为实数时 称为实二次型