求矩阵的秩 求矩阵的秩有下列基本方法 (1)用初等变换.即用矩阵的初等行(或列) 变换,把所给矩阵化为阶梯形矩阵,由于阶梯形 矩阵的秩就是其非零行(或列)的个数,而初等 变换不改变矩阵的秩,所以化得的阶梯形矩阵中 非零行(或列)的个数就是原矩阵的秩 2)计算矩阵的各阶子式,从阶数最高的子式 开始,找到不等于零的子式中阶数最大的一个子 式,则这个子式的阶数就是矩阵的秩(很少用)
求矩阵的秩有下列基本方法 （1）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列） 变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形 矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等 变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中 非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． （2）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式 开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子 式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩(很少用). 一、求矩阵的秩
001 例1求矩阵A=062410的秩 19-7-14-34 解:对A施行初等行变换 062 046 1200 10 03125 093 00000 B 0-21-714-35 00000 所以 R(A)=R(B)=2 注意:在求矩阵的秩时,初等行、列变换可以同时 兼用,但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形
1 2 0 0 1 0 6 2 4 10 1 11 3 6 16 1 19 7 14 34 1 2 0 0 1 1 2 0 0 1 0 6 2 4 10 0 3 1 2 5 ~ ~ 0 9 3 6 15 0 0 0 0 0 0 21 7 14 35 0 0 0 0 0 1. ( ) ( ) 2 R R = − − − − = − − − − = = A A A B A B 例 求 解 矩阵 的秩 ：对 施行初等行变换 所以 注意：在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时 兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．
求逆矩阵的初等变换法 要求可逆矩阵A的逆矩阵,只需对分块矩阵 (AE)施行初等行变换当把A变成E时原来的 E就变成了A。或者对分块矩阵4施行初等 E 列变换,当把A变成E时,原来的E就变成了A 0 例2求矩阵A=112的逆矩阵 解:作分块矩阵(A|E),对该矩阵施行初等行 变换
1 1 , ( ) , , , , − − A A E A E A E A E A E E A 要求可逆矩阵 的逆矩阵 只需对分块矩阵 施行初等行变换 当把 变成 时 原来的 就变成了 。或者对分块矩阵 施行初等 列变换 当把 变成 时 原来的 就变成了 。 二、求逆矩阵的初等变换法 ( ) 0 2 1 1 1 2 111 | 2. − = −−− A A E 求矩阵 的逆矩阵. 解：作分块矩阵 ，对该矩阵 例 施行初等行 变换
02-1100 112010 112010 02-1100 2+F 1-1-100 001011 35 100 110|0-1 222 7+ 020111 010 001011
1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1 2 2 0 2 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 2 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 3 5 1 0 0 222 1 1 0 0 1 2 111 ~ 0 2 0 1 1 1 ~ 0 1 0 222 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 r r r r r r r r r r r + + − − − − −−− −−− − −
12-3/2-5/2 0 注意用初等行变换求逆矩阵时,必须 始终用行变换,其间不能作任何列变换.同 样地,用初等列变换求逆矩阵时,必须始终 用列变换,其间不能作任何行变换
1 1 2 3 2 5 2 1 2 1 2 1 2 . 0 1 1 − − − − = A 注意 用初等行变换求逆矩阵时，必须 始终用行变换，其间不能作任何列变换．同 样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终 用列变换，其间不能作任何行变换．