S1.1复数及其代数运算1．复数的概念口2.代数运算中3．共轭复数口13 -
- 13 - 1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 §1.1 复数及其代数运算
1. 复数的概念定义对任意两实数x、,称z=x+iy或z=x+yi为复数。其中=-1，i称为虚单位虚部·复数z 的实部 Re()=x ;Im(z) = y oz= /x? +y2 ≥0·复数的模·如何判断复数相等zi = Z2 Xi = X2, 1 = y2,其中zi = Xi +iy1,Z2 = X2 +iy2z = 0 <← Re(z) = Im(z) = 0沁一般,任意两个复数不能比较大小。-14-
- 14 - 一般, 任意两个复数不能比较大小。 定义 2 , 1 , x y z x iy z x y i i i 对任意两实数 、 称 其中 称为 或 为复数。 虚单位。 • 复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y 。 2 2 • 复数的模 | | 0 z x y 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 , , , 0 Re( ) Im( ) 0 z z x x y y z x iy z x iy z z z 其中 • 如何判断复数相等？ 1. 复数的概念
2.复数的代数运算·四则运算定义zi=xi+iyi与 z2=x2+iy2的和、差、积和商为:zi±z2=(xi±x2)+i(yi±y2)Zi32=(xi+iy1)(x2+iy2)=(xiX2-iV2)+i(x2Vi+x2)1 = (x, +iy)(x, -iy2) = xx, +yiy2 +ix2y1 -xiy2x2 + y2x,2+y2Z2(x2 +iy2)(x, -iy2)15-
- 15 - 定义 z1 =x1+iy1与 z2 =x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1 y2 )+i(x2 y1+x1 y2 ) 2.复数的代数运算 •四则运算 ( )( ) ( )( ) 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x +iy x - iy x x + y y x y - x y = = +i z x +iy x - iy x + y x + y
运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。即,（与实数相同）Z1+Z2=Z2+Z1;132=7271;(z1+z2)+z3=Z1+(z2+z3):Z1(Z233)=(3172)Z3;Z1(Z2+Z3)=Z172+Z13316-
- 16 - z1+z2 =z2+z1； z1 z2 =z2 z1； (z1+z2 )+z3 =z1+(z2+z3 )； z1 (z2 z3 )=(z1 z2 )z3； z1 (z2+z3 )=z1 z2+z1 z3 . 运算规律 复数的运算满足交换律、结合律、分配律。 （与实数相同）即
3.共轭复数定义 若z=x+iy，称 z=x-iy 为z 的共轭复数(conjugate)共轭复数的性质(2) z = z(1) (z ± z2) = z) ±Z2(2/22) = z(22(4) z + z = 2 Re(z)z- z = 2iIm(z)()=三Z227(3) zz =[Re(2)] +[Im(z)]}2 = x2 + y2 = = -1z17
- 17 - 共轭复数的性质 1 2 1 2 (1) ( ) z z z z 1 2 1 2 ( ) z z z z 1 1 2 2 ( ) z z z z (2) z z 2 | | 1 z z z 2 2 2 2 (3) [Re( )] [Im( )] zz z z x y (4) 2 Re( ) 2 Im( ) z z z z z i z 3.共轭复数 定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数. (conjugate)