曲边梯形面积的近似值为 A≈∑∫(5)Ax 当分割无限加细即小区间的最大长度 =max{△x,△x2,…Axn} 趋近于零(→0)时, 曲边梯形面积为A=Iim∑f(5)v
i n i A f i x = ( ) 1 曲边梯形面积的近似值为 i n i A = f i x = → lim ( ) 1 0 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = x x xn 曲边梯形面积为
例2路程问题 设某质点作直线运动,速度v=v(t)是时间 间隔[T1,Tl上t的一个连续函数,求物体在这 段时间内所经过的路程. 路程=速度X时论 对于匀速运动,我们有公 解决变速运动的路程的基本思路 把整段时间分割成若干小时间段,每小段 上速度看作不变,求出各小段的路程再相加, 便得到路程的近似值,最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值
例2 路程问题 设某质点作直线运动，速度v = v(t)是时间 间 隔[ , ] T1 T2 上t的一个连续函数，求物体在这 段时间内所经过的路程. 把整段时间分割成若干小时间段，每小段 上速度看作不变，求出各小段的路程再相加， 便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限 细分过程求得路程的精确值． 对于匀速运动，我们有公式 路程=速度X时间 解决变速运动的路程的基本思路
(1)分割T=t0<t1<2<…<tn1<tn=T (2)取点∈Mt△s≈v(t)△ (3)作和s≈∑v()A1 (4)取极限x=max{△r1,△t2,…,△tn} 路程的精确值s=lim∑v(;)A1
（1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = n− n = i = i − i−1 t t t i i i s v( )t （3）作和 i i n i s v t = ( ) 1 （4）取极限 max{ , , , } 1 2 n = t t t i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0 路程的精确值 (2) 取点 i i t
三、定积分的定义 定义:设函数y=f(在区间[ab]上有定义。在区间 [a,b]中任取分点 a=Xx <x <x <x1 <x.,<x.=b 将区间ab]分成n个小区间[x-1,x],其长度为 △x 1-1(i=1,2,…,n) 在每个小区河xx],任取一点5(x1≤5≤x)作 乘积f(95)Ax,(=1,2,…,n)的和式:∑∫(5)Ax,(1) 如果不论对区间[园a,b]采取何种分法及5如何选取,当 n个小区间的长度最大的趋于秀,即Ax.|→0时,和 式(1)的极限存在,则称函数f(x)在区间[a,b上 并称此极限值为函数f(X)在区间[a,b]上的 记作 的/(x)即hmn f(5,)Ax=∫af(x)dx
三、定积分的定义 定义： 设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间 [a,b]中任取分点 , a = x0 x1 x2 x3 xi−1 xi xn−1 xn = b 将区间[a,b]分成n个小区间 [xi−1 ，xi ] ，其长度为 乘积 的和式： 在每个小区间 ， 上，任取一点 作 ( ) ( 1,2, , ) [ ] ( ) 1 1 f x i n x x x x i i i i i i i i = − − i = i − i−1 x x x （i =1,2, ,n) ( ) . 1 i n i f i x = f (x)dx, b a f x f x dx b i a n i i xi lim ( ) ( ) 1 || || 0 = = → 如果不论对区间[a,b]采取何种分法及 如何选取，当 n个小区间的长度最大的趋于零，即 时，和 式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积， 并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作 | ||→ 0 i x i 即 （1）
注: (1)利用极限的“E-0”的说法,将定积分的 定义精确表述如下: m∫(x)dk=I=im∑f(5)△x VE>0,3>0,对于区间a,b的任何分法,不论; 在[x1x中怎样取法,只觐<8,有 ∑f5)△x-1< i=1 成立,则称是(x)在区间a,b上的定积分
注： = = b a f (x)dx I i i n i f x = → lim ( ) 1 0 (1)利用极限的“ ”的说法，将定积分的 定义精确表述如下： − 在 中怎样取法，只要 有 对于区间 的任何分法，不论 [ ] , 0, 0, [ , ] 1, i− i i x x a b − = f x I i i n i ( ) 1 成立，则称I是f (x)在区间[a,b]上的定积分