相应地，考虑方程：ap,2+2a2p,0,+a20,2=0 a1=a5+2a25.5,+a25, a2=a4lx+2a21,+a2z7, a2=a51.+a2(51,+5,八.)+a25,n, 如果5=4()，刀=，（化，y正好为所设方程的解，那么：a1=0,a22=0。 所以，变换就转化为如下方程求解问题： 4192+2a22,0,+a20,2=0…(1) 如何求解()？ 考虑相应的一个常微分方程 :a y -2n y +a22=0…(2) 定理：px,y)是方程(1)的解的充分必要条件是φ(X,y)=C确定的隐函数 y=y()是方程(2)的解
相应地，考虑方程： 如果 正好为所设方程的解，那么： 。 所以，变换就转化为如下方程求解问题： 如何求解(1)？ 2 2 11 11 12 22 2 2 22 11 12 22 12 11 12 22 2 2 x x y y x x y y x x x y y x y y a a a a a a a a a a a a 2 2 11 12 22 2 0 x x y y a a a 1 2 x y x y , , , a a 11 22 0, 0 2 2 11 12 22 2 0 (1) a a a x x y y 考虑相应的一个常微分方程： 。 2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx 定理：φ(x, y)是方程(1)的解的充分必要条件是φ(x, y) = C 确定的隐函数 y = y(x )是方程(2)的解
a192+2a292,+a2g,2=0.(0 证明：必要性：设φx,y)是方程(1)的解。 a(-2a(） +a=0…(2) 设y=y(x)是p(K,y)=C所确定的隐函数，那么： o(x,y)=c →atak)盘0→ 少=-0(x 0(x,y ,(0,(x,)≠0) 将其代入方程(2)： -gjn小-alao+2aea+aoj=0 所以，必要性得到证明。 充分性：若p(x,y)=C确定的隐函数y=y(x)是方程(2)的解。我们证明p(x,y)是(1)的解. 因p(x,y)=C确定的隐函数y=y(x)是方程(2)的解。那么可以推出： ag+24ge+u,)=0→4+2a,2%+ag=0
证明：必要性：设φ(x, y)是方程(1)的解。 设y = y(x )是 φ(x, y) = C 所确定的隐函数，那么： 2 2 11 12 22 2 0 (1) a a a x x y y 2 11 12 22 2 0 (2) dy dy a a a dx dx 充分性：若φ(x, y) = C 确定的隐函数y = y(x )是方程(2)的解。我们证明φ(x, y) 是(1)的解. ( , ) x y c ( , ) ( , ) 0 x y dy x y x y dx ( , ) ,( ( , ) 0) ( , ) x y y dy x y x y dx x y 将其代入方程(2)： 2 2 11 12 22 11 12 22 2 2 x x y y dy dy a a a a a a dx dx 2 2 2 11 12 22 1 2 0 x x y y y a a a 所以，必要性得到证明。 因φ(x, y) = C 确定的隐函数y = y(x )是方程(2)的解。那么可以推出： 2 2 2 11 12 22 1 x x y y 2 0 y a a a 2 2 a a a 11 12 22 x x y y 2 0