S(5,n)Ay;存在，则称该极限为Q(x,y)在有向同理，若极限lim1i-1n Zo(5,n;)Ay,.曲线弧L上对坐标y 的曲线积分,记为[,Q(x,y)dy=lim i-1其中P(x,y),Q(x,)叫做被积函数，L叫做积分弧段以上积分称为第二类曲线积分可以证明，若P(x,j),Q(x,y)在有向光滑曲线弧 L 上连续，则[, P(x,y)dx,[, Q(x,y)dy存在, 且记J, P(x, y)dx + J,Q(x, y)dy = I, P(x, y)dx + Q(x, y)dy,也可记为「 F(x,J)-dr，其中 F(x,y)= P(x,y)i +Q(x,y)jdr =dxi+dyi，dr称为有向曲线弧元素由引例知, W =[F-dr=[ P(x,y)dx+Q(x,y)dy001018中个不高教学教学部不不不
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S假定各性质中的曲线积分都存在性质 1（线性）设α,β是常数，则[, [aFi(x, y)+ βF,(x,y)] dr = αf,[F(x, y) dr + β], F,(x, y) dr推论(1)f, [F(x,y)+ F,(x, y)] dr= ,[Fi(x, y) dr + f, F,(x, y) dr ;(2)J, αFi(x, y) dr =αJ, F(x,y) · dr.性质 2（对区间的可加性）设有向曲线弧L由两段有向曲线弧L,和J, F(x,y) dr =J, F(x,y) dr + J, F(x,y) dr.L,组成，则性质 3（方向性）设有向曲线弧L，反方向有向曲线弧L，则[, F(x,y) dr =-J, F(x,y) dr.说明对坐标的曲线积分，特别要注意积分弧段的方向0010个不高等教学教学部不不
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S定义和性质可以推广到积分弧段为空间有向曲线弧厂（总假定T光滑且具有有限长度）的情形[, P(x, y,z)dx = lim P(5,ni,5,)Ax;1→0ma[ Q(x, y,z)dy = lim1-1W[_R(x, y,z)dz = limR(5i,ni,5)Azi2-0i=1[ P(x,y,z)dx + I,Q(x, y,z)dy + [, R(x, y,z)dz= J P(x,y,z)dx + Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz.[ A(x, y,z)·dr = P(x,y,z)dx+Q(x, y,z)dy+ R(x, y,z)dz.A(x, y,z)= P(x, y,z)i +Q(x, y,z)j + R(x, y,z)k, dr = dxi + dyj + dzk0008个不高教学教学部不不不
高等数学教学部 8 ( , , ) lim ( , , ) ; 1 0 n i dx P i i i xi P x y z ( , , ) lim ( , , ) ; 1 0 n i i i i i Q x y z dy Q y ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 n i i i i i R x y z dz R z P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz. A x y z dr ( , , ) A(x, y,z) P(x, y,z)i Q(x, y,z) j R(x, y,z)k, dr dxi dyj dzk. P(x, y,z)dx Q(x, y,z)dy R(x, y,z)dz.