比较式(6-4)和式(6-5)，可得以下结论： (1)闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 路根轨迹增益K,;对于单位反馈系统，闭环系统 根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 (2)闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反 馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统， 闭环零点就是开环零点。 (3)闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹 增益K均有关。 11
11 比较式（6-4）和式（6-5），可得以下结论： ⑴闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通 路根轨迹增益 ；对于单位反馈系统，闭环系统 根迹增益就等于开环系统根轨迹增益。 ⑵闭环零点由开环前向通路传递函数零点和反 馈通路传递函数极点所组成；对于单位反馈系统， 闭环零点就是开环零点。 ⑶闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹 增益 均有关。 K1r Kr
根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法 找出闭环极点，一旦闭环极点被确定，闭环 传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点 可由式(6-5)直接得到。在已知闭环传递 函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用 拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接 求解。 12
12 根轨迹法的基本任务：由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法 找出闭环极点, 一旦闭环极点被确定，闭环 传递函数的形式便不难确定，因为闭环零点 可由式（6-5）直接得到。在已知闭环传递 函数的情况下，闭环系统的时间响应可利用 拉氏反变换的方法求出，或利用计算机直接 求解
三、根轨迹增益K与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为 K=lims'G(s)H(s) (6-6) S→0 式中V是开环传递函数中含积分环节的个数， 由它来确定该系统是零型系统(v=O),I型系统 (v=1)或Ⅱ型系统(v=2)等。 将(6-4)代入(6-6)可得 m Π(s-Zj) (-Z) K=lims G(s)H(s)=limK,j1 =K, j=1 S>0 →0 n-v (s-P) Π(-P) i=l i=1 13
13 三、根轨迹增益 与开环系统增益K的关系 系统的开环增益（或开环放大倍数）为 （6-6） 式中 是开环传递函数中含积分环节的个数， 由它来确定该系统是零型系统（ ）,Ⅰ型系统 （ ）或Ⅱ型系统（ ）等。 将（6-4）代入（6-6）可得 K lims G(s)H(s) s 0 → = = 0 =1 = 2 Kr − = = − = = → → − − = − − = = n ν i 1 i m j 1 j n ν r i 1 i m j 1 j r s 0 ν s 0 ( P ) ( Z ) K (s P ) (s Z ) K lims G(s) H(s) limK
开环系统的根轨迹增益 开环系统的增益K 之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与 开环传递函数中的零点和极点有关。 由式(6-4)可知，根轨迹增益（或根轨迹 放大系数)是系统的开环传递函数的分子、分 母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例6 1中系统的开环传递函数为 K G(s)H(s)=- 其开环增益为 (S+2) K=limsG(s)H(s)=K S->0 2 对于该系统，根轨迹增益K与开环增益K之 间的是K,=2K,它们之间仅相差一个比例常 数2。 14
14 开环系统的根轨迹增益 与开环系统的增益K 之间仅相差一个比例常数，这个比例常数只与 开环传递函数中的零点和极点有关。 由式（6-4）可知，根轨迹增益（或根轨迹 放大系数）是系统的开环传递函数的分子﹑分 母的最高阶次项的系数为1的比例因子。在例6- 1中系统的开环传递函数为 其开环增益为 对于该系统，根轨迹增益 与开环增益K之 间的是 ，它们之间仅相差一个比例常 数2。 Kr s(s 2) K G(s)H(s) r + = 2 K K limsG(s)H(s) r s 0 = = → Kr Kr = 2K
四、根轨迹与系统性能 以图6-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系 统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益 K。o 稳态性能开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系 统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系 统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围 动态性能当0<K.<1时，所有闭环极点均位于实轴上，系统 为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当 K=1时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统 单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当 K.>1 时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K,值的增加而加 大，但调节时间不会有显著变化。 15
15 四、根轨迹与系统性能 以图6-1为例进行说明 稳定性 如果系统特征方程的根都位于S平面的左半部，系 统是稳定的，否则是不稳定的。若根轨迹穿越虚轴进入右半S 平面，根轨迹与虚轴交点处的K值，就是临界稳定的开环增益 Kc。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系 统，因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系 统的稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围 动态性能 当 时，所有闭环极点均位于实轴上，系统 为过阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。当 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼系统， 单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。当 时，特征方程为一对共轭复根，系统为欠阻尼系统，单位阶跃 响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随 值的增加而加 大，但调节时间不会有显著变化。 0 1 K r K 1 r = Kr 1 K r