第六章 根轨迹法 ·§6-1根轨迹的概念 ·§6-2绘制根轨迹的规则 ·§6-3广义根轨迹 ·§6-4系统性能分析 7
1 第六章 根轨迹法 • §6–1 根轨迹的概念 • §6–2 绘制根轨迹的规则 • §6–3 广义根轨迹 • §6–4 系统性能分析
根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由 于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即 系统的闭环极点)在S平面上的分布，因此，用根 轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶 系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法 更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。 本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法。 2
2 根轨迹法是一种图解方法，它是古典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。由 于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根（即 系统的闭环极点）在S平面上的分布，因此，用根 轨迹法分析控制系统十分方便，特别是对于高阶 系统和多回路系统，应用根轨迹法比用其他方法 更为方便，因此在工程实践中获得了广泛应用。 本章主要介绍根轨迹的概念，绘制根轨迹的 基本规则和用根轨迹法分析自动控制系统的方法
§6-1根轨迹的概念 一、根轨迹图 根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。 例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=- K (s+2) 试分析该系统的特征方程的根随系统参数K的变 化在S平面上的分布情况。 3
3 §6–1 根轨迹的概念 一﹑根轨迹图 根轨迹图是开环系统某一参数由零变化到无 穷时，闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在 S平面上的变化轨迹。 例6-1 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试分析该系统的特征方程的根随系统参数 的变 化在S平面上的分布情况。 s(s 2) K G(s) H( ) + = r s Kr
解 系统的闭环传递函数 φ(S)= C(s) G(s) K R(s) 1+G(s)H(s) s2+2S+K 系统的特征方程为 s2+2s+K,=0 特征方程的根是 S1=-1+V1-K,S2=-1-V1-K, 设K,∈(0，∞)， 当K,=0时，S1=0,S2=-2 ; 当0<K,<1时，S,与S2为不相等的两个负实根； 当K,=1时，S1=S2=-1为等实根： 4
4 解 系统的闭环传递函数 系统的特征方程为 特征方程的根是 设 〔0, ∞﹚， 当 时, ; 当 时， 与 为不相等的两个负实根； 当 时， 为等实根； r 2 r s 2s K K 1 G(s)H(s) G(s) R(s) C(s) (s) + + = + = = s 2s Kr 0 2 + + = 1 r 2 1 1 Kr s = −1+ 1− K ,s = − − − K r = 0 K r 0 1 K r s1 = 0,s2 = −2 1 s 2 s 1 K r = s1 = s2 = −1
当1<K,<w时，S2=-1±jVK,-1为一对共 轭复根，其实部都等于-1，虚部随K,值的增加 而增加； 当K→∞时，S1、S2的实部都等于-1，是常 数，虚部趋向无穷远处。 该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到 无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示。 5
5 当 时， 为一对共 轭复根，其实部都等于-1，虚部随 值的增加 而增加； 当 →∞时， 、 的实部都等于-1，是常 数，虚部趋向无穷远处 。 Kr 1 K r 1 s 2 s s 1 K 1 1,2 = − j r − Kr 该系统特征方程的根随开环系统参数从零变到 无穷时在S平面上变化的轨迹如图6-1所示