二正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 1-G(s)H(s)=0 (6-38) 即 G(s)H(s)=1 (6-39) 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值 条件和相角条件分别为 G(s)H(s)=1 (6-40) ∠G(S)H(S)=0°+k·360(k=0,1,2,…)(6-41) 比较式(6-40)和式(6-13)知，正反馈 系统和负反馈系统绘制根轨迹的幅值条件相同；
1 二 正反馈系统的根轨迹 正反馈系统的特征方程是 （6-38） 即 （6-39） 由此可得到绘制正反馈系统根轨迹的幅值 条件和相角条件分别为 （6-40） （6-41） 比较式（6-40）和式（6-13）知，正反馈 系统和负反馈系统绘制根轨迹的幅值条件相同； 1− G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) =1 G(s)H(s) =1 G(s)H(s) = 0 + k 360(k = 0,1,2, )
比较式(6-41)和式(6-14)知，负反馈 系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈 系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统 根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同， 在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的 绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中 与相角条件有关的三条规则作相应修改，它们 是： (1)对规则四应修改为：正反馈系统根轨迹的 渐近线与实轴正方向的夹角应为 2k元 Pa= (k=0,1,2,…,n-m-1) n-m (6-422
2 比较式（6-41）和式（6-14）知，负反馈 系统的根轨迹遵循180°相角条件，而正反馈 系统的根轨迹遵循0°相角条件。故正反馈系统 根轨迹又称为零度根轨迹。由于相角条件不同， 在绘制正反馈系统根轨迹时，须对前面介绍的 绘制负反馈系统普通根轨迹的七条基本规则中 与相角条件有关的三条规则作相应修改，它们 是： ⑴对规则四应修改为：正反馈系统根轨迹的 渐近线与实轴正方向的夹角应为 （6-42） (k 0,1,2, ,n m 1) n m 2k a = − − − =
(2)对规则三应修改为：正反馈系统在实轴 上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点 和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 (3)对规则六应修改为：正反馈系统的起始角 和终止角应为 0。=0°+2(p,-2,)-∑(p,-P,) i=] 0.=0°+( -p)-,-,) i= 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹 的绘制方法。 3
3 ⑵对规则三应修改为：正反馈系统在实轴 上的根轨迹只能是那些在其右侧的开环实零点 和开环实极点的总数为偶数或零的线段。 ⑶对规则六应修改为：正反馈系统的起始角 和终止角应为 下面通过示例进一步说明正反馈系统根轨迹 的绘制方法。 = = = + − − − n i l i l i m j p l j p z p p l 1 1 0 ( ) ( ) = = = + − − − m j l j l j n j z l j z p z z l 1 1 0 ( ) ( )
例6-11已知正反馈系统的开环传递函数为 K G(S)H(S)= s(s+1)(s+2) 试绘制该系统的根轨迹图。 解：由系统的开环传递函数与例6-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是 由0至+∞线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向 的夹角分别是0°(k=0)、120°(k=1) 和-120°(k=2)
4 例6-11 已知正反馈系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。 解：由系统的开环传递函数与例6-7相同。 由修改后的规则三知，实轴上的根轨迹是 由0至+∞线段和由-1至-2线段。 由修改后的规则四知，渐近线与实轴正方向 的夹角分别是0°（k = 0）、120°（k = 1） 和-120°（k = 2）。 ( 1)( 2) ( ) ( ) + + = s s s K G s H s r
在例6-7中，由规则五求出的极值方程的解 有两个，即1=0.42和2=-1.58，对于例6- 7的负反馈系统，是根轨迹与实轴交点的合理值， 因为它是实轴上根轨迹上的一点；不嵇实轴的 根轨迹上，故在例6-7中被舍去。这种情况在本 例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的 根轨迹改变了， α2=滚轴的根轨迹上， 它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值， 而 01=-04在实轴的根轨迹上，应舍去。 由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分 离点时，应考虑规则三变化的影响。 5
5 在例6-7中，由规则五求出的极值方程的解 有两个，即 和 ，对于例6- 7的负反馈系统， 是根轨迹与实轴交点的合理值， 因为它是实轴上根轨迹上的一点； 不在实轴的 根轨迹上，故在例6-7中被舍去。这种情况在本 例中正好相反，由于是正反馈系统，实轴上的 根轨迹改变了， 在实轴的根轨迹上， 它是根轨迹与实轴交点（分离点）的合理值， 而 不在实轴的根轨迹上，应舍去。 由此可见，虽然规则五没有改变，但在确定分 离点时，应考虑规则三变化的影响。 1 2 1.58 2 = − 0.42 1 = − 1.58 0.42 2 = − 1 = −