§6-2绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依据 根轨法的基本任务在于，由己知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出 闭环极点。K,由零变到无穷大时，闭环系统特征 方程的根在$平面上运动的轨迹。因此，系统的特 征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程 为 1+G(s)H(S)=0 G(S)H(s)=-1 16
16 §6–2 绘制根轨迹的规则 一、绘制根轨迹的依据 根轨法的基本任务在于，由已知的开环零、 极点的分布及根轨迹增益，通过图解的方法找出 闭环极点。 由零变到无穷大时，闭环系统特征 方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特 征方程便是绘制根轨迹的依据。系统的特征方程 为 1+ G(s)H(s) = 0 G(s)H(s) = −1 Kr
当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征 方程可写成 (s-Zi) K j=1 (s-P) i=1 式中，Z为已知的开环零点，P为已知的开环 极点，K为可从零变到无穷的开环根轨迹增益。 我们把上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可 以画出当 由零变到无穷时系统的根轨迹。 在绘制根轨迹时，参数不限定是根轨迹增 益，可为系统的其它参数（如时间常数、反 馈系数等)这时只要把系统的特征方程化为上式， 将感兴趣的参数取代根轨迹增益 的位置就可 以绘制根轨迹。 K 17
17 当系统有m个开环零点和n个开环极点时，特征 方程可写成 式中， 为已知的开环零点， 为已知的开环 极点， 为可从零变到无穷的开环根轨迹增益。 我们把上式称为根轨迹方程，由根轨迹方程，可 以画出当 由零变到无穷时系统的根轨迹。 在绘制根轨迹时，参数不限定是根轨迹增 益 ，可为系统的其它参数（如时间常数、反 馈系数等）这时只要把系统的特征方程化为上式， 将感兴趣的参数取代根轨迹增益 的位置就可 以绘制根轨迹。 1 (s P ) (s Z ) K n i 1 i m j 1 j r = − − − = = Zj Pi Kr Kr Kr Kr
根轨迹方程实际上是一个向量方程，用模和相角 的形式表示就是 |G(S)H(S)ej∠G(s)Hs)=1·ei±180+k360r) k=0,1,2,) 可得到满足系统特征方程的幅值条件和相 值条件为 幅值条件： G(S)H(s)=1 相值条件：」 ∠G(s)H(s)=(±180°+k.360) (k=0,1,2,…) 18
18 根轨迹方程实际上是一个向量方程，用模和相角 的形式表示就是 可得到满足系统特征方程的幅值条件和相 值条件为 幅值条件： 相值条件： (k 0,1,2, ) | G(s) H(s) | e 1 e j G(s)H(s) j ( 180 k 360 ) = = + | G(s) H(s) | 1 G(s) H( ) ( 180 k 360 ) (k 0,1,2, ) s = = + =
设系统的开环传递函数为 m (s-Z) G(s)H(s)=K. Π(s-P) i= 满足幅值条件的表达式为 nls-Zil K.j=1 ΠIs-PI =1 -K. nls-P Π1s-Z, 满足相角条件的表达式为 2∠(5-7)-2∠(s-P)=±180°+k-:360 (k=0,1,2,) 19
19 设系统的开环传递函数为 满足幅值条件的表达式为 满足相角条件的表达式为 − − = = = n i 1 i m j 1 j r (s P ) (s Z ) G(s)H(s) K 1 |s P | |s Z | K n i 1 i m j 1 j r = − − = = n i i 1 m r j j 1 | s P | K | s Z | or = = − = − (k 0,1,2, ) (s Z ) (s P ) 180 k 360 n i 1 i m j 1 j = − − − = + = =
综上分析，可以得到如下结论： (1)绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。即在S平面上，所有满足相角条 件的点的集合的构成系统的根轨迹图。即相角条 件是绘制根轨迹的主要依据。 (2)绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即K值的变化会改变系统的闭环 极点在S平面上的位置。 (3)在系统参数确定的情况下，凡能满足相角条件 和幅值条件的$值，就是对应给定参数的特征根 或系统的闭环极点。 (4)由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传 递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便 可绘制出根轨迹图。 20
20 综上分析，可以得到如下结论： ⑴绘制根轨迹的相角条件与系统开环根轨迹增益 值的大小无关。即在S平面上，所有满足相角条 件的点的集合的构成系统的根轨迹图。即相角条 件是绘制根轨迹的主要依据。 ⑵绘制根轨迹的幅值条件与系统开环根轨迹增益 值的大小有关。即 值的变化会改变系统的闭环 极点在S平面上的位置。 ⑶在系统参数确定的情况下，凡能满足相角条件 和幅值条件的S值，就是对应给定参数的特征根， 或系统的闭环极点。 ⑷由于相角条件和幅值条件只与系统的开环传 递函数有关，因此，已知系统的开环传递函数便 可绘制出根轨迹图。 Kr Kr Kr