二、反函数的求导法则 定理2.设y=f(x)为x=f-(y)的反函数，(y)在 y的某邻域内单调可导，且[f(y)≠0则 -i 或 [f(y)] d y 证：在x处给增量△x≠0，由反函数的单调性知 Ay=f(x+△x)-f(x)≠0，所以 x △x △y 且由反函数的连续性知△x→0时必有△y→0，因此 "(x)=lim Ay lim- △x→0△x 4y-→0 △y [f(y)]
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x) = 二、反函数的求导法则 定理2. y 的某邻域内单调可导, 证: 在 x 处给增量 由反函数的单调性知 且由反函数的连续性知 因此 ( ) ( ) , 设 y = f x 为x = f −1 y 的反函数 f −1 ( y) 在 [ ( )] 0 1 − 且 f y d d = x y 或 x 0, y = f (x + x) − f (x) 0, y x = 所以 y x x → 0时必有y → 0, x y f x x = →0 ( ) lim lim →0 = y y x y x d d = 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 [ ( )] 1 − f y 1 1 则
山东农业大 方本 反函数的求导法则：U-() 例5求(arcsinx)'及(arccos x)'. 解因为y=arcsinx是x=siny的反函数，所以 (arcsinx)'=1 1 1 1 (siny)cosy 1-sin2y 1-x2 类似地有：((arccos)=-2 例6求(arctanx)'及(arccotx)'. 解因为y=arctanx是x=tany的反函数，所以 (arctanx)= 1 1 (tany)'sec2y 1+tan2y1+x2' 类似地有： (arccotx)'=- 1+x2
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例6 求(arctan x)及(arccot x) 解 因为y=arctan x是x=tan y的反函数 所以 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 2 2 1 2 1 1 tan 1 sec 1 (tan ) 1 (arctan ) y y y x x + = + = = = 类似地有 1 2 1 (arccot ) x x + =− 例5 求(arcsin x)及(arccos x) 解 因为y=arcsin x是x=sin y的反函数 所以 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 2 1 2 1 1 sin 1 cos 1 (sin ) 1 (arcsin ) y y y x x − = − = = = 类似地有 1 2 1 (arccos ) x x − =− ( ) 1 [ ( )] 1 f y f x 反函数的求导法则: − =