R,(x)=f(x)-pn(x) R,(x) +v(⑤5) (x-)+T= (5在x,与x之间) (n+1)! p()0.R(x)f(x) m+x-m(传在6与x之间 当在x的某邻域内fm+(x)≤M时 B()( M .R,(x)=o(x-x)”)(x→xo)
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + + = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x) M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − + n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n n = − →
山东农业大 泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 )=f）+fxx-x）+f'(x-x+ 21 +(o(x-x+R,(x) ① n! 其中Rwfa9:-)传在飞与x之间② (n+1)川 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间
注意到 R.(x)=o[(x-x)”] 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f(x)=f()+f(xox-xo)+(x- 21 +f(o2(x-x”+ox-xo)] ④ nl 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项 *可以证明： ∫(x)在点xo有直到n阶的导数 > ④式成立
山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立