中南大学：《线性代数》题解案例（双语版）chapter4（4）实对称矩阵的对角化

3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的 Proo.A1=A1n,Ap2=A2P2,且≠2 A对称∴A=A', 于是A2pP2=p12D2=D14p2=m14p2 =(4p1)'P2=(A1D1)P2=A1D1P2 →(41-42)p12=0. A1≠2,∴P2=0.即1与2正交 4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等. K

3.实对称矩阵A对应于不同特征值的特征 向量是正交的. Proof. , , , Ap1 = 1 p1 Ap2 = 2 p2 且1  2  A对称, A = A , 于是 2 1 2  p p ( ) 0.  1 − 2 p1  p2 = , 1  2 .  p1  p2 = 0. 即p1与p2正交 1Ap2 = p 1 2 = (Ap ) p 4.实对称矩阵的每个特征值的代数重数 与几何重数相等. p12 p2 =  p1A p2 =   1 1 2 = ( p ) p . 1 p1 p2 =  

二实对称矩阵的对角化 定理设A为m阶实对称矩阵,则必有正交矩阵P,使 PAP=dig(1,…an) 其中A1,…λn是A的特征值 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为: (1)求4的特征值1; (2)由(41E-A)x=0,求出4的特征向量,…,n; (3)将51,…,n正交化单位化得p1,…,pn; (4)令P=(p1…,pn)则P1AP=lig(4,…,xn)

二.实对称矩阵的对角化 , . ( , ) , , 1 1 1 其中 是 的特征值 设 为 阶实对称矩阵 则必有正交矩阵 使 A P AP diag A n P n n      − =  定理. 利用正交矩阵将实对称矩阵对角化,其具体步骤为： (2) ( ) 0, , , ; 由 iE − A x = 求出A的特征向量1   n (1) ; 求A的特征值i (3) , , , , , ; 将 1   n正交化 单位化得p1  pn (4) ( , , ) ( , , ). 1 1 P = p1  pn P AP = diag   n 令 则 −