例3.求曲线V=3x4-4x3+1的凹凸区间及拐点解：1)求y"y'=12x3 -12x2, y"=36x2 -24Y2)求拐点可疑点坐标(0,) (号,27)令"=0 得 =0,X2=,对应xO23)列表判别323(0,3)0(3, +0)x(-8,0)00+J"1+11凹1凸 y冏凹27故该曲线在（-0,0)及(,+)上向上凹,在(0,)上向上凸，点（0，1）及（,)均为拐点eo010x机动自录上页下页返回结束
36 ( ) 3 2 = x x − 例3. 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y 12 12 , 3 2 y = x − x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y = 0 得 0 , , 3 2 x1 = x2 = 对应 3) 列表判别 27 11 1 2 y =1, y = (−,0) (0, ) 3 2 ( , ) 3 2 + y x y 0 3 2 + 0 0 1 27 11 − + 故该曲线在 (−,0) ( , ) 3 及 2 + 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 ( , ) 27 11 3 2 均为拐点. 在(0, 3 2 )上 凹 凸 凹 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 2 (0,1) ( , ) 27 11 3 2
曲线的渐近线二、定义.若曲线C上的点M沿着曲线无限地远离原点时，点M与某一直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线yty= f(x)或为“纵坐标差CM=kx+bPN21x21例如，双曲线xa0xyY=0有渐近线Xbax但抛物线V=x?无渐近线。O10000?机动自录上页下页返回结束
无渐近线 . 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 二、 曲线的渐近线 定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点 时, 则称直线 L 为 曲线C 的渐近线 . 例如, 双曲线 有渐近线 = 0 b y a x 但抛物线 或为“纵坐标差” N L y = k x +b M x y o C y = f (x) P x y o 机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.水平与铅直渐近线若 lim f(x)=b,则曲线 y=f(x)有水平渐近线 y=bx>+8(或x→-8)若 lim f(x)=oo,则曲线 y=f(x)有垂直渐近线 x=xo .x-→>x0(或x→)1例1.求曲线y=+2的渐近线，x-1解：：lim (+2)=x-→0 x-1：y=2为水平渐近线12)=80，：x=1为垂直渐近线limx-1 x-100x机动目录上页下页返回结束
1. 水平与铅直渐近线 若 则曲线 有水平渐近线 y = b. (或x → −) 若 则曲线 有垂直渐近线 . 0 x = x ( ) 0 → − 或x x 例1. 求曲线 的渐近线 . 解: 2) 2 1 1 lim ( + = x→ x − y = 2 为水平渐近线; 2) , 1 1 lim( 1 + = x→ x − x =1 为垂直渐近线. 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束
2.斜渐近线若 lim [f(x)-(kx+b)]=0,则曲线 =f(x)有x→+8斜渐近线y=kx+b(或x→-8)lim [f(x)- (kx+b)]=0bXx>+k=11m拉xxx-→>+8f(x)1k = limxxx-→+8xx-→>+8(或x→-8)6xb= lim [f(x)-kx]1xxx—→>+8x→>+8(或x→-8)O0000X机动自录上页下页返回结束
2. 斜渐近线 斜渐近线 y = kx + b. (或x → −) 若 (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x x (kx + b) ] 0 ( ) lim [ − − = →+ x b k x f x x ] ( ) lim [ x b x f x k x = − →+ x f x k x ( ) lim →+ = b lim [ f (x) kx] x = − →+ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (或x → −) (或x → −)