第一章 函数与极限 高等数学少学时 第五节晶数极限的运笄 一、极限的运算法则 二、复合函数的极限 北京邮电大学出版社
1 第五节 函数极限的运算 一、极限的运算法则 二、复合函数的极限
第一章 函数与极限 高等数学少学时 一、极限的运算法则 在下面的讨论中省去x→x,x→oo等极限过程，用符号im 表示任一极限过程. 定理1如果Iimf(x)=A,limg(x)=B,则 ()lim[f(x)±g(x】=limf(x)士img(x)=A±B; (2)lim f(x)g(x)=lim f(x).lim g(x)=A.B; (3)若B≠0，则1im f(x)limf(x)A g(x)limg(x)B 北京邮电大学出版社 2
2 一、极限的运算法则 在下面的讨论中省去 x → x0 , x → 等极限过程,用符号lim 表示任一极限过程. 定理1 如果lim f (x) = A,lim g(x) = B, 则 (1) limf (x) g(x)= lim f (x) lim g(x) = A B; (2) lim f (x)g(x) = lim f (x)lim g(x) = AB; ( ) ( ) ( ) ( ) . lim lim (3) 0, lim B A g x f x g x f x 若B 则 = =
第一章 函数与极限 高等数学少学时 证这里只证明（1). 因为imf(x)=A,img(x)=B,由极限与无穷小的关系知， f(x)=A+a(x),g(x)=B+B(x), 其中a,是无穷小.于是 f(x)±g(x)=(A+a)t(B+B)=(A±B)+(a±B) 由无穷小的运算性质知±B是无穷小，所以(1)式成立. 注①定理1中()、(2)可以推广到有限个函数的情形 ②如果imf(x)=A,则imgf(x)=cA,c为常数 ③如果imf(x)=A,则imf(x)r=imf(x)",n∈N. ④定理1对于数列极限也成立 北京邮电大学出版社 3
3 证 这里只证明（1）. 因为lim f (x) = A,lim g(x) = B, 由极限与无穷小的关系知， f (x) = A+(x), g(x) = B+ (x), 其中α，β是无穷小.于是 f (x) g(x) = (A+) (B+ ) = (A B)+ ( ) 由无穷小的运算性质知 是无穷小,所以(1)式成立. 注 ② 如果 lim f (x) = A, 则limcf (x) = cA, c为常数. 如果 lim f (x) = A, lim[ f (x)] [lim f (x)] ,n N. n n ③ 则 = ① 定理1中(1)、(2)可以推广到有限个函数的情形. ④ 定理1对于数列极限也成立
第一章 函数与极限 高等数学少学时 例1求极限lim(x3+2x2-3 解 e3+2x2-3)=imx2+21imx2-3=8+8-3=1B. X→2 x→2 例2求极限im x3+2x2-3 x→2 x-3 解lim(x-3)=-1≠0 x2 .'.lim x3+2x2-31 (e2+2x2-3) 13 -13. x+2 x-3 lim(w-3) -1 注设P(x)=ax”+x"-1+…+an-1x+r 2(x)=bxm+bxm-1+…+bn-1x+bnm,则 imp(x)=aooa+d=p(o) 北京邮电大学出版社 4C
4 lim ( 2 3 ) 3 2 2 + − → x x x lim 2lim 3 2 2 3 2 = + − → → x x x x 解 = 8 + 8 − 3 = 13 . lim ( 2 3 ). 3 2 2 + − → x x 例 x 1 求极限 注 1 0 1 1 ( ) , m m Q x b x b x b x b n m − = + + + + − ( ) ( ) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 lim n n n n x x P x a x a x a x a P x − − → = + + + + = ， lim ( 3 ) 1 0 2 − = − → x x . 3 2 3 lim 3 2 2 − + − → x x x x 求极限 3 2 3 lim 3 2 2 − + − → x x x x 例 2 解 ( ) lim ( 3 ) lim 2 3 23 2 2 − + − = → → x x x x x 13 . 1 13 = − − = 1 0 1 1 ( ) n n P x a x a x a x a n n − 设 = + + + + − ， 则
第一章 函数与极限 高等数学少学时 P(x) lim P(x)P(xo) lim x→x0 (2(x)≠0). x→x( 2(x)-Iim2(x)2(x) 例3求极限①i x-3 ②)lim Wx+1-1 3) lim +3 x 3x2-9' x→0 X →1 x2-11 x-3 x-3 1 1 解（四四文-9 lim (c-3x+3) lim x→3X+3 6 (2)当≠0时， lim Vx+1-1 =im+-x++l x→0 X x→0 x+1+) x 1 1 =x+1+可 lim x0x+1+1 2 北京邮电大学出版社 5
5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim ( ( ) 0). lim x x x x x x P x P x P x Q x Q x Q x Q x → → → = = . 1 3 3 lim 1 1 2 lim 9 3 1 lim 2 0 1 2 3 − + − + − − → → → x x x x x x x x x 求极限（） ， （） ， （） = − − → 9 3 (1) lim 2 3 x x x 例3 解 ( )( ) = − + − → 3 3 3 lim 3 x x x x 6 1 3 1 lim 3 = x→ x + (2) 当x≠0时， x x x 1 1 lim 0 + − → ( 1 1) lim 0 + + = → x x x x ( )( ) ( 1 1) 1 1 1 1 lim 0 + + + − + + = → x x x x x . 2 1 1 1 1 lim 0 = + + = → x x