(2)积分路径的参数方程为 z(t)=t+ir(0≤t≤1) 于是Rez=t,dz=(1+2i)dt, S Rezdz=r(+2it)dt 1+L 12 +—t -L; 23 23 0 y=
(2) 积分路径的参数方程为 x y o 1+ i 1 i 2 y = x ( ) (0 1), 2 z t = t + it t 于是 Re z = t, dz = (1 + 2ti)dt, C Re zdz = + 1 0 t(1 2it)dt 1 0 3 2 3 2 2 = + t t i ; 3 2 2 1 = + i
(3)积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为x(t)=t(0≤t≤1), 于是Rez=t,dz 1到1+道线段的参数方程为z(t)=1+it(0≤t≤1), 于是Rez=1,dz=idt, Rezdz= tdt+ 1. idt 1+L 2 注:此例说明积分 Rezdz与路线有关
x y o 1+ i 1 i 2 y = x (3) 积分路径由两段直线段构成 x轴上直线段的参数方程为 z(t) = t (0 t 1), 1到1+i直线段的参数方程为 z(t) = 1+ it (0 t 1), 于是 Re z = t, dz = dt, 于是 Re z = 1, dz = idt, C Re zdz= + 1 0 tdt 1 0 1 idt . 2 1 = + i 注：此例说明积分 C Re zdz 与路线有关．
例3求 今(d,C为以n为中心r为半 径的正向圆周n为整数 解C的参数方程为z=+re(0≤6≤2), 2πLre Tt d6= be-i(m-1)6 de C 0 n ine 0 r已 2 2 2丌i,n=1 co(n-1)6l6 sin(n-1)0d0 0 0 ≠1 所以 dz- 2m,n=1, Z-Z0=I 0 n≠1 重要结论:积分值与路径圆周的中心和半径无关
例3 解 , . d , , ( ) 1 0 0 径的正向圆周 为整数 求 为 以 为中心 为 半 n z C z r z z C n − C的参数方程为 (0 2π), = 0 + i z z re C − n z z z d ( ) 1 0 = 2π 0 d n in i r e ire − − − = 2π 0 ( 1) 1 d i n n e r i = − − − − 2π 0 2 0 1 cos( 1) sin( 1)d n d i n r i n = = 0, 1. 2 , 1, n i n − = − z z r n z z z 0 d ( ) 1 0 = = 0, 1. 2 , 1, n i n 重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关. 所以
积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质 (1)f(z)dz ∫(z)dz; (2)Mf(z)dz=k|f(x)dk;(k为常数) (3)Uf(x)+g()=[f()dz士!g(z); 估值不等 (4)设曲线C的长度为L函数f(x)在C上满足不 f()5M,那末/G)s/()sM式
三、积分的性质 复积分与实变函数的定积分有类似的性质. (1) ( )d ( )d ; = − − C C f z z f z z (2) kf (z)dz k f (z)dz; (k为常数) C C = (3) [ ( ) ( )]d ( )d ( )d ; = C C C f z g z z f z z g z z C C f z M f z z f z s ML C L f z C ( ) , ( )d ( )d . (4) , ( ) 那末 设曲线 的长度为 函数 在 上满足 估 值 不 等 式
性质(4)的证明 因为△xk是zk与zk-1两点之间的距离, △为这两点之间弧段的长度, 所以∑f(5)Ak∑f(4)Aks∑f(5)△ k=1 k=1 两端取极限得()s(a)d 因为∑f(k)AssM∑△k=M, k=1 所以[f(z)dz≤Jf(z) ds s ML 「证毕 C C
性质(4)的证明 , 因为 zk 是 zk 与 zk−1 两点之间的距离 为这两点之间弧段的长度, k s k n k k f z =1 所以 ( ) = n k k k f z 1 ( ) = n k k k f s 1 ( ) 两端取极限得 ( )d ( )d . C C f z z f z s = n k k k f s 1 因为 ( ) = n k k M s 1 = ML, f (z)dz f (z)ds ML. C C 所以 [证毕]