《矩阵理论—知识点详解》第四章 矩阵分解（4.2）圆盘定理

2圆盘定理 定义1设A=(an)∈C 行盖尔圆盘→S2={∈Cz-a1|R=∑ J≠ 列盖尔圆盘→G={eC2-anC1=∑nl 定理1(圆盘定理1)设A∈C",则州任一特征值 λ∈S=∪S 人1

返回 2 圆盘定理 { :| | | |} i ii i ij j i S z C z a R a  =  −  =  定义 1 ( ) n n A a C ij  设 =  行盖尔圆盘 { :| | | |} i ii i ji j i G z C z a C a  列盖尔圆盘 =  −  =  定理 1 (圆盘定理1) n n A C A  设 ,则 的任一特征值  1 n j j  S S =  =

证:Ax=x(x=(x1,x2,…,xn)≠0) Ax;(i=1,2,…,n)xk=max(x1b,…,xnD>0 j=1 ∑x;=x→xk(-ak)=∑ k xk-ak=∑;∑lx1x∑q ≠k j≠k ≠k Ih-akkISRk

返回 1 2 ( ( , , , ) 0) T 证： Ax x x x x x = =   n 1 ( 1,2, , ) n ij j i j a x x i n  =  = = 1 | | max(| |, ,| |) 0 x x x k n =  1 n kj j k j a x x  =  = ( ) k kk kj j j k x a a x   − =  | || | | | k kk kj j j k x a a x   − =  | || | kj j j k a x    | | | | k kj j k x a    | | kk k  −  a R

例1估计矩阵 1-23 0 11-20 2 i 0 的特征值的分布范围

返回 例 1 1 1 1 0 2 2 1 3 0 2 2 0 5 2 2 1 0 0 5 i A i i i   − −   − = − −   − 估计矩阵 的特征值 的分布范围

解 S1:|z-1|1; 3.3 S2:|z-|≤ S3:|z-51; S4:|z-5i|≤1 推论1设A∈Cm,则任一特征值 1∈∪G1 =1

返回 解： 1 S z :| 1| 1; −  2 3 3 :| | ; 2 2 S z −  3 S z :| 5 | 1; −  4 S z i :| 5 | 1 −  O 5 1 2 3 5 S1 S3 S4 S2 推论 1 n n A C A  设 ,则 的任一特征值  1n i i j  G= 

定理2(圆盘定理2设n阶方阵m个盖尔圆盘中 有k个圆盘的并形成一连通区域G,且它与余下 的n-k个圆盘都不相交,则在该区域G中恰好有 A的k个特征值 证 11a1 1 ●鲁 ●鲁 12 1 n n 22 21 n 即:A=D+B

返回 11 12 1 11 12 1 21 22 2 22 21 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n n n n n n nn nn n n a a a a a a a a a a a a A a a a a a a                   = = +                   定理 2 (圆盘定理2) 设 阶方阵 的 个盖尔圆盘中 n A n 有 个圆盘的并形成一连通区域 ，且它与余下 k G 的 个圆盘都不相交，则在该区域 中恰好有 n k G - A k 的 个特征值. 证： 即：A=D+B