公式』fdk= udx-vdy +il vdx +udy 在形式上可以看成是 ∫(z)=n+i与dz=dx+dy相乘后求积分得到: f(a)dz=L(u+ iv)(dx+idy) udx + ivd iudy-vdy udx-ydy +il vdx +udy
f (z) = u + iv 与dz = dx + idy 相乘后求积分得到: C f (z)dz = + + C (u iv)(dx idy) = + + − C udx ivdx iudy vdy d d d d . = − + + C C u x v y i v x u y C f (z)dz − C udx vdy + C = + i vdx udy 在形式上可以看成是 公式
2.积分的计算法 [f(ak可以通过两个二元实变函数的线 积分来计算 设光滑曲线C由参数方程为 z=(t=x(t+iy(t), t:a-B [f(z)dz=x(,yolx()-x(,yoyo)dr +i(vlx(t), y(O)lx(t)+uIx(t), y(tly(t)dt {ux(t),y(t)+ix(t),y()}{x'(t)+i(t)}d
2. 积分的计算法 . ( )d 积分来计算 可以通过两个二元实变函数的线 C f z z + + = − i v x t y t x t u x t y t y t t f z z u x t y t x t v x t y t y t t C { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d ( )d { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )}d = + + {u[x(t), y(t)] iv[x(t), y(t)]}{x (t) iy (t)}dt [ ( )] ( )d . = f z t z t t z = z(t) = x(t) + i y(t), t : → . 设光滑曲线C由参数方程为
f(z)dz=f[z(t)k(t)dt 如果C是由C1,C2,…,C等光滑曲线依次 相互连接所组成的按段光滑曲线,则 lf(z)d=∫(z)dz+L。f(x)z+…+[f(dz 在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线C是按段光滑的
= f z z f z t z t t C ( )d [ ( )] ( )d 相互连接所组成的按段光滑曲线 则 如果 是由 等光滑曲线依次 , , , , C C1 C2 Cn C f (z)dz ( )d ( )d ( )d . 1 2 = + + + C C Cn f z z f z z f z z 在今后讨论的积分中, 总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的
例1计算[zdz,C:从原点到点3+4i的直线段 解直线段方程为z=(3+4i),0≤t≤1. dz=(3+ 4i)dt, zdz=(3+4o=(3+4mr=2(+4 又因为」xd7=(x)dx+idy) xdx-ydy+i ydx +xdy 这两个积分都与路线C无关 所以不论C是怎样从原点到点+4i的曲线都有 (3+4i)
例1 解 计算 zdz, C :从原点到点3 4i的直线段. C + 直线段方程为 z = (3 + 4i)t, 0 t 1. dz = (3 + 4i)dt, d (3 4 ) d 1 0 2 z z = + i t t C (3 4 ) d 1 0 2 = + i t t (3 4 ) . 2 1 2 = + i d ( )(d d ) = + + C C 又因为 z z x iy x i y d d d d = − + + C C x x y y i y x x y 这两个积分都与路线C 无关 所以不论C 是怎样从原点到点3+ 4i的曲线, (3 4 ) . 2 1 d 2 z z i C = + 都有
例2计算[ Rezdz,其中C为: (1)从原点到点1+i的直线段; (2)抛物线y=x2上从原点到点1+i的弧段; (3)从原点沿x轴到点1再到1+的折线 解(1)积分路径的参数方程为 z(t)=t+i(0≤t≤1), --1+i 于是Rez=t,dz=(1+i)dr, Rezdz =l t(1+idt==(1+i); 2
例2 解 (3) 1 1 . (2) 1 ; (1) 1 ; Re d , : 2 从原点沿 轴到点 再到 的折线 抛物线 上从原点到点 的弧段 从原点到点 的直线段 计算 其中 为 x i y x i i z z C C + = + + (1) 积分路径的参数方程为 z(t) = t + it (0 t 1), 于是 Re z = t, dz = (1 + i)dt, C Re zdz = + 1 0 t(1 i)dt (1 ); 2 1 = + i x y o 1+ i 1 i