作和式S=∑f(k)(k-x-1)=∑∫(k)A k=1 =1 这里△乙k=k-k1,Ak=1的长度 记δ=max△sk},当n无限增加且δ→0时, 1<k≤n 如果不论对C的分法及么k的取法如何,Sn有唯 极限,那么称这极限值为 B 函数f(z)沿曲线C的积分, 记为 「f(x)dz=im∑∫(、s,5y k-1 n→0 2 k=1
( ) ( ) ( ) , 1 1 1 k n k k n k n k k k S = f z − z = f z = = 作和式 − o x y A B n−1 z k z k−1 z 2 z 1 z k C 1 2 max{ }, 1 k k n = s 记 , , 这里zk = zk − zk−1 sk = zk−1 zk的长度 当n无限增加且 → 0时, ( ) , , , 记 为 函 数 沿曲线 的积分 一极限 那么称这极限值为 如果不论对 的分法及 的取法如何 有 唯 f z C C k Sn ( )d lim ( ) . 1 k n k k C n f z z = f z = →
关于定义的说明: (1)如果C是闭曲线,那么沿此闭曲线的积分 记为「f(au (2)如果C是x轴上的区间a≤x≤b,而∫(z) =u(x,这个积分定义就是一元实变函数 定积分的定义
关于定义的说明: ( )d . (1) , C f z z C 记为 如果 是闭曲线 那么沿此闭曲线的积分 . ( ), (2) , ( ) 定积分的定义 这个积分定义就是一元实变函数 如果 是 轴上的区间 而 u x C x a x b f z =
积分存在的条件及其计算法 1.存在的条件 如果∫(z)是连续函数而C是光滑曲线时, 积分[f(x)dkz一定存在 证设5k=54+i7 k △k=不k-xk-1=xk+k-(xk-1+k-1) k-1 △x2+iy, k
二、积分存在的条件及其计算法 1. 存在的条件 ( )d . ( ) , 积分 一定存在 如果 是连续函数而 是光滑曲线时 C f z z f z C 证 , k k k 设 = + i ( ) k = k − k−1 = k + k − k−1 + k−1 z z z x i y x i y ( ) ( ) = k − k−1 + k − k−1 x x i y y , k k = x + iy
所以∑f(4k)A乙k =1 ∑(5k,mk)+iv(5,mk)(△k+边yk) k=1 =∑(5k,k)Axk-v(5k,mk)△yk +iIv(5k, k )Axk+u(5k, nk )Ayk I =1 由于f(z)=l(x,y)+iv(x,y)在D内处处连续 那么u(x,y)和v(x,y)在D内均为连续函数, 根据曲线积分的存在定理
k n k k f z =1 所以 ( ) = = + + n k k k k k k k u i v x i y 1 [ ( , ) ( , )]( ) = = + + = − n k k k k k k k n k k k k k k k i v x u y u x v y 1 1 [ ( , ) ( , ) ] [ ( , ) ( , ) ] 根据曲线积分的存在定理, 由于 f (z) = u(x, y)+ i v(x, y)在D内处处连续, 那么u(x, y)和v(x, y)在 D内均为连续函数
当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, 不论对C的分法任何点(k,m)的取法如何 下式两端极限存在 ∑∫(5kA=∑a(5,m)-(5,m k=1 k=1 +∑v5,m)△x+0(5,nAy =1 f(adu=l udx-vdy+il ydx + udy
当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ( , ) , 下式两端极限存在 不论对C的分法任何 点 k k 的取法如何 = = = + + = − n k k k k k k k n k k k k k k k n k k k i v x u y f z u x v y 1 1 1 [ ( , ) ( , ) ] ( ) [ ( , ) ( , ) ] C f (z)dz − C udx vdy + C = + i vdx udy