S1 平面图形的面积本节介绍用定积分计算平面图形在各种表示形式下的面积一、直角坐标方程表示的平面图形的面积二、参数方程表示的平面图形的面积三、极坐标表示的平面图形的面积前页后页返回
前页 后页 返回 §1 平面图形的面积 本节介绍用定积分计算平面图形在 一、直角坐标方程表示的平面图形的 二、参数方程表示的平面图形的面积 三、极坐标表示的平面图形的面积 面积 各种表示形式下的面积. 返回
一、直角坐标方程表示的平面图形的面积用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面积，通常把它化为x型和v型区域上的积分来计算x 型区域: A=((x,y)l f(x)≤ y≤ f,(x),xe[a,b)其中fi(x),f,(x)是定义在[a,b]上的连续函数y型区域: B=((x,y)/gi(y)≤x≤g,(y),ye[c,d)其中g;(y),g,(y)是定义在[c,dj上的连续函数后页返回前页
前页 后页 返回 1 2 其中 f x f x a b ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. x A x y f x y f x x a b 型区域: = ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2 y B x y g y x g y y c d 型区域: = ( , ) | ( ) ( ), [ , ] , 1 2 用定积分求由直角坐标方程表示的平面图形的面 积,通常把它化为 x y 型和 型区域上的积分来计算. 1 2 其中g y g y c d ( ), ( ) [ , ] 是定义在 上的连续函数. 平面图形的面积 一、直角坐标方程表示的
x型区域A通过上移yVy= f,(x)+ My = fz(x)4A= f(x)+M≥00x0y= fi(x)bbxaa返回前页后页
前页 后页 返回 x A 型区域 通过上移 a b x y O 2 y f x = ( ) 1 y f x = ( ) A x y O a b 2 y f x M = + ( ) 1 y f x M = + ( ) 0 A
由定积分的几何意义，可知A的面积为S(A) = ['(f;(x)+ M)dx - ['(fi(x)+ M)dxI'lf,(x) - fi(x)]dx.同理，y型区域B的面积为S(B) = [' Ig,(y) - gi(y)]dy.例1求由抛物线y2=x和2=8y所围图形A的面积解y2 =xJx, = 4x=0S的解为x?=8y(y1=0' (y2 =2)后页返回前页
前页 后页 返回 由定积分的几何意义，可知 A 的面积为 例1 2 2 求由抛物线 y x x y A = = 和 8 . 所围图形 的面积 解 2 1 2 2 1 2 0 4 , . 8 0 2 y x x x x y y y 的解为 = = = = = = 2 1 ( ) ( ( ) )d ( ( ) )d b b a a S A f x M x f x M x = + − + 2 1 [ ( ) ( )]d . b a = − f x f x x 2 1 ( ) [ ( ) ( )]d . d c S B g y g y y = − 同理,y B 型区域 的面积为
图形A既是x型区域y2(4, 2)又是y型区域J2=xA把A看作x型区域，则8y=t0x福,f,(x)=Vx,fi(x) =8于是2-3r-5(a)-1.-)dx三168643324返回前页后页
前页 后页 返回 于是 ( ) 0 4 24 1 3 2 d 8 2 3 3 4 0 2 = − = − x x x x S A x . 3 8 24 64 3 16 = − = 图形 A x 既是 型区域 把 A x 看作 型区域,则 2 4 y = x 2 x 8 y 2 = (4, 2)x y O • A 又是 y型区域. 2 1 2 ( ) , ( ) , 8 x f x f x x = =