83可积条件判别一个函数f(x)在[a,bl上是否可积，就是判别极限，lm2, [(t)Dx,是否存在. 在实际应用中,=1直接按定义来判定是困难的·我们希望由函数本身的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别函数的可积性为此，先给出可积准则，并以此证明有界性是可积的必要条件而非充分条件，连续性是可积的充分条件而非必要条件。岚回前页后页
前页 后页 返回 判别一个函数 f (x) 在[a, b]上是否可积,就是判别 §3 可积条件 的性质（例如函数的有界性、连续性等）来判别 极限 是否存在. 在实际应用中， 直接按定义来判定是困难的. 我们希望由函数本身 函数的可积性. 为此, 先给出可积准则,并以此证明 有界性是可积的必要条件而非充分条件, 连续性是 可积的充分条件而非必要条件. 返回
定理9.1（可积必有界）上必若函数f 在[α,b 上可积，则[,b]有界，证设bof(x)dx= J.0由定义,对e =1>0,$d>0,只要 T<d,无论T与x,i [xi.1, x,l (i=1,2,L ,n)如何选取,都有i (s,Ar-k1.i=1于是巡回后页前页
前页 后页 返回 定理9.1(可积必有界） 若函数在上可积，则在上必 有界. 证设 由定义,对 于是
[a (8, 1 /e101+-M.i=1倘若f(x)在[a,bl上无界 则必有k,使得f(x)在[x-1,x,]上无界.令G= a f(x,)Ax;ilk故必存在x,[x-,x,,满足M +G[f(x)>DXk巡回后页前页
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A于是i-13f(x)Ax-a f(x,)Ax)ikM+GAx - G = M,DXk矛盾.以下例子告诉我们，有界性并不是可积的充分条件巡回后页前页
前页 后页 返回 于是 矛盾. 以下例子告诉我们,有界性并不是可积的充分条件
例1试用反证法证明：狄利克雷函数D(x）在任何区间[a,b]上不可积证 若 D(x)在[a,bl 上可积,则 $JI R,$ d >0.当T<d 时,对任何x,i [xi.1,x,l, 有nalD(x,)Ax,- J <i-1现任取x, i Q C[x.1,x,l, i=1,2,L ,n,则nna D(x,)Ax, -a Ax,=-1.i=11-1后页巡回前页
前页 后页 返回 证若 D(x) 在 [a, b] 上可积 , 则