82由平行截面面积求体积W为三维空间中一立体.它夹在垂直于x轴的两平面x=a,x=b之间(a<"xl[a,bl作垂直于x轴的平面,截得 W的截面面积为 A(x)A(x)bX巡回后页前页
前页 后页 返回 §2 由平行截面面积求体积 面 x = a , x = b 之间(a < b). 作垂直于 x 为三维空间中一立体,它夹在垂直于 x 轴的两平 轴的平面,截得 的截面面积为 A(x). 返回
若A(x)在[a,bl上连续，则W的体积为V-0 A(x)dx,证设T:a=x,<x,<L<x,=b是[a,b]的一分割,[xi.1,x,I上 A(x)的最大最小值分别为 M,,m;则第i个小薄片的体积^V满足m,Ax,fAV,fM,Ar,于是am,Ax,tv-a av,ta M,Ar.i=1i=1i=1后页邀回前页
前页 后页 返回 证 若A(x) 在 于是
当T?O时aM,Dx,? A(x)dx, a m,Dx,? A(x)dx.i-1i=1因此 V-jA(x)dx.回后页前页
前页 后页 返回 因此
例1求由两个圆柱面x2+y2=a2与+x2=α2所7.围立体的体积a101r解先求出立体在第一卦限的体积V."x,I[0,alx=x,与立体的截面是边长为a-x的正方形巡回后页前页
前页 后页 返回 例1 求由两个圆柱面 围立体的体积. 解
所以 A(x)=α2-x2,x1 [0,αl.于是求得16V=8V/=80(a2-x)dx=一13以下讨论旋转体的体积。设f是[a,bl上连续函数，W是由平面图形A=i(x,y)oflylflf(x)l,afxfb)绕x轴旋转一周所得的旋转体，则A(x) =元 f"(x), x1 [a,b]V=nof'(x)dr.巡回前页后页
前页 后页 返回 以下讨论旋转体的体积