S3 平面曲线的狐长与曲率本节定义光滑曲线的弧长，并用定积分给出弧长计算公式。一、平面曲线的弧长定义1设平面曲线C由以下参数方程表示：x= x(t),y= y(t),te[α,β]如果x(t)与y(t)在[α,β|上连续可微,且x(t)与y(t)不同时为零，则称C为一光滑曲线后页前页返回
前页 后页 返回 定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示: x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ]. 如果 x t y t x t y t ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) 与 在 上连续可微 且 与 不同时为零，则称 C 为一光滑曲线. §3 平面曲线的弧长与曲率 本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式. 一、平面曲线的弧长 返回
定义2设平面曲线C由参数方程x =x(t),y= y(t),t e[α,βl表示.对[α,βI的一个分割T: α=t, <t, <...<t, =β, T=max(At,),相应地对C有一个分割,即C上有分点A= P.,P,...,P, = B.若 lim /P-,Pl=s存在,则称曲线C 是可求长的,T-→0i=l并定义该极限值s为曲线C的弧长前页后页返回
前页 后页 返回 定义2 设平面曲线 C 由参数方程 x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ] 0 1 : , max(Δ ) n i i T t t t T t = = = ， 1 0 1 lim , , n i i T i 若 P P s C − 存在 则称曲线 是可求长的 → = = 表示.对[ , ] 的一个分割 相应地对 C C 有一个分割,即 上有分点 0 1 , , , . A P P P B = = n 并定义该极限值 s C 为曲线 的弧长
nZ/P-P|与参数方程的表注可以证明极限limT→0i-1示方式无关定理10.1（光滑曲线弧长公式）设曲线C由参数方程x =x(t),=y(t),t [α,βI表示. 若C为一光滑曲线，则C是可求长的，且弧长为s= J /x"(0)+ y'()dr.返回前页后页
前页 后页 返回 曲线, 则 C 是可求长的, 且弧长为 2 2 s x t y t t ( ) ( ) d . = + 定理10.1 (光滑曲线弧长公式)设曲线 C 由参数方 1 0 1 , lim n i i T i P P− → = 注 可以证明 极限 与参数方程的表 示方式无关. 程 x x t y y t t = = ( ), ( ), [ , ] . 表示 若C为一光滑
证设[α,β]的任一分割T: α=t,<t,<...<tn-i<t, =β.在[t-1,t,]上由微分中值定理,Ax, = x(t) -x(t-) =x'(5)At, 5, e[x,-1,x, l,Ay, = y(t.) - y(t,-) = y'(n,)At,, n; e[x,-i,x,l.于是ElPP--EVAr,+Ay,i=1i=l后页返回前页
前页 后页 返回 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ]. i i i i i i i i y y t y t y t x x = − = − − 于是 2 2 1 1 1 n n i i i i i i P P x y − = = = + : . T = t 0 t 1 tn−1 tn = 证 设[ , ] 的任一分割 1 [ , ] , i i t t 在 − 上由微分中值定理 Δ 1 1 ( ) ( ) ( )Δ , [ , ], i i i i i i i i x x t x t x t x x − − = − =
x"(5)+ y"(n.)Ati=-Zx"(5)+y"(5)A1,+i12/x"(5)+y"(n-2/x"(5)+y"(5)A,i-1i-1由于x"(t)+y"(t)在[α,βI上连续,从而可积因此2Vx"(5.)+ y'(5)At, = e/x(0)+ y"(1) dt.limi=1后页返回前页
前页 后页 返回 2 2 1 ( ) ( )Δ n i i i i x y t = + 2 2 1 ( ) ( )Δ . n i i i i x y t = − + 2 2 由于 x t y t ( ) ( ) [ , ] + 在 上连续,从而可积， = = + n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) = + + = n i i i i x y t 1 2 2 ( ) ( ) 因此 2 2 2 2 0 1 lim ( ) ( )Δ ( ) ( ) d . n i i i T i x y t x t y t t → = + = +