*S3上极限和下极限数列的上极限与下极限是非常有用的概念，通过它们可得出数列极限存在的另一个充要条件：在下册第十二、十四章讨论级数收敛性时，常会遇到所考虑的某些数列不存在极限的情形，那时需要用上极限或下极限来解决问题.此外，对于不少后继课程来说，上（下）极限也是不可缺少的工具。一、上（下）极限的基本概念二、上（下）极限的基本性质邀回后页前页
前页 后页 返回 *§3 上极限和下极限 数列的上极限与下极限是非常有用的概念, 通过 一、上(下)极限的基本概念 程来说, 上(下)极限也是不可缺少的工具. 极限或下极限来解决问题. 此外, 对于不少后继课 考虑的某些数列不存在极限的情形, 那时需要用上 册第十二、十四章讨论级数收敛性时, 常会遇到所 它们可得出数列极限存在的另一个充要条件. 在下 二、上(下)极限的基本性质 返回
一、上(下)极限的基本概念定义1若数列{x，满足：在x.的任何一个邻域内均含有(x,中的无限多项,i，则称x,是数列(xn)的一个聚点，注点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于：前者要求“含有无限多个点”，后者要求“含有无限多个项”现举例如下：常数列(a,°a)只有一个聚点：a巡回后页前页
前页 后页 返回 一、上(下)极限的基本概念 注 点集的聚点与数列的聚点之间的区别在于: 定义1 若数列 满足: 在 数 的任何一个邻域 内均含有 中的无限多项, 则称 x0 是数列 常数列 只有一个聚点: a . 的一个聚点. 限多个项” . 现举例如下: 前者要求 “含有无限多个点” , 后者要求 “含有无
{（-1)"）作为点集来说它仅有两个点，故没有聚点但作为数列来说，它却有两个聚点：1和-1.数列 ( sin"}有五个聚点: -1, -V2/2, 0, V2/2, 1.从数列聚点的定义不难看出，x是数列x，的聚点的一个充要条件是：存在1x，的一个子列xnXn, ? xo, k ? ?.定理7.4有界数列至少存在一个聚点，并且有最大聚点和最小聚点后页邀回前页
前页 后页 返回 定理7.4 有界数列至少存在一个聚点, 并且有最大 但作为数列来说, 它却有两个聚点: 数列 有五个聚点: 从数列聚点的定义不难看出, x0 是数列 的聚 作为点集来说它仅有两个点, 故没有聚点 ; 点的一个充要条件是: 存在 的一个子列 聚点和最小聚点
证 设x,为有界数列，由致密性定理，存在一收敛子列个小，Xm?xo（h?￥），于是xo是x）的一个聚点又设E=x/x是(x,的聚点,由于E非空有界，故由确界原理，存在A=supE, A=inf E.下面证明A是x,的最大聚点，亦即AiE.首先，由上确界的性质，存a,I E,使a,? A在后页巡回前页
前页 后页 返回 又设 由于 E 非空有界, 故由确界原理, 存在 下面证明 是 { xn } 的最大聚点, 亦即 证 设 为有界数列, 由致密性定理, 存在一 个 的一个聚点. 收敛子列 于是 首先, 由上确界的性质, 存 在 使
因为α,是x，的聚点，所以对任意正数e,在区间(a;-e，a;+e)内含有(xni的无限多项.现依次Aei =1, 存在 x,使[xm- a,<1;存在 xm,(n,>n), 使 / xm, -az /<,e?存在xm,(n,>nk-1),使 /xm-a,)K巡回前页后页
前页 后页 返回 存在 使 存在 使 的无限多项. 现依次 令 存在 使 因为 是 的聚点, 所以对任意正数 在区间