或x<0, p(x)=x+2<1 =x<-1; J[p(x)=er2或 x≥0, 0(x)=x2 -1<1 =0≤x</2; F[p(x)]=er-(2)（2）当p(x)≥1时或x<0, (x)=x+2≥1 =-1≤x<0, f[p(x))=x+2或 x≥0, p(x)=x2 -1≥1 = x≥V2; [p(x))=x2-1[e, x<-1x+2,-1≤x<0综上所述f[g(x)]=et-,0≤x<V2[x-1, x≥/2例15.设f(x)=e,f(p(x)=1-x并且p(x)≥0,求p(x)及其定义域解：令u=p(x),则 f(p(x)= f(u)=e",e=1-x=u=/In(1-x)x≤0于是，p(x)=/ln(1-x)x≤0小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态为后继课的学习作好准备作业：11
2 [ ( )] x f ϕ x e + 或 x < 0, ϕ() 2 1 x x =+< ⇒ <− x 1; = 或 x ≥ 0, 2 ϕ() 1 1 x x = −< ⇒≤< 0 2 x ; 2 1 [ ( )] x f ϕ x e − = （2） （2）当ϕ() 1 x ≥ 时 或 x < 0, ϕ() 2 1 x x =+≥ ⇒− ≤ < 1 0 x ; fx x [ ( )] 2 ϕ = + 或 2 ϕ() 1 1 x x = −≥ 2 x ≥ 0, ⇒ ≥x 2; fx x [ ( )] 1 ϕ = − 2 2 1 2 , 1 2, 1 0 [ ( )] . , 0 2 1, 2 x x e x x x f x e x x x ϕ + − ⎧ < − ⎪ + −≤ < ⎪ = ⎨ ≤ < ⎪ ⎪ ⎩ − ≥ 综上所述 2 ( ) , ( ( )) 1 x 例 15.设 f xef x x = = ϕ − 并且ϕ( ) 0, x ≥ 求ϕ( ) x 及其定义域. 2 ( ( )) ( ) , u 解：令u x = ϕ( ), 则 f ϕ x fu e = = 2 1 ln(1 ). u e xu x x =− ⇒ = − ≤ 0 于是, ϕ( ) ln(1 ) x = − x x ≤ 0 小结：本节复习了中学学过的各种函数，应该熟记六种基本初等函数的性态， 为后继课的学习作好准备 作业： 11
81.2数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：数列极限定义与性质教学难点：极限概念的理解教学内容：一、极限概念导引极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用。设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正二十四边形，其面积记为As；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6×2"边形的面积记为A,(neN)。这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A, A, Ag., A..它们构成一列有次序的数。当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A,作为圆面积的近似值也越精确。但是无论n取得如何大，只要n取定了，A,终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为n一→，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A，也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A，A，As…，An，…，当n→o时的极限。在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明。二、数列的极限先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数x，第二个数x2，这样依次序排列着，使得对应着任何一个正整数n有一个确定的数x，，那么，这列有次序的数12
§1.2 数列的极限 教学目的：理解数列极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：数列极限定义与性质 教学难点：极限概念的理解 教学内容： 一、极限概念导引 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。例如，我国古代数学家刘徽（公 元 3 世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上 的应用。 设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为 ；再作内接正十二边形，其面积记 为 ；再作内接正二十四边形，其面积记为 ；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接 正 边形的面积记为 。这样，就得到一系列内接正多边形的面积： A1 A2 A3 1 26 − × n n ( ∈ NnA ) 321 AAAA n "" ， 它们构成一列有次序的数。当 n 越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以 作为圆 面积的近似值也越精确。但是无论 取得如何大，只要 n 取定了， 终究只是多边形的面 积，而还不是圆的面积。因此，设想无限增大（记为 An n An n → ∞ ，读作 趋于无穷大），即内接 正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时 也无限接 近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积。这个确定的数值在数学上称为上 面这列有次序的数（所谓数列） 当 n An 321 AAAA n "" ， n → ∞ 时的极限。在圆面积问 题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积。 在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，已成为高等数学中的一种基本方法，因此 有必要作进一步的阐明。 二、数列的极限 先说明数列的概念。如果按照某一法则，有第一个数 ，第二个数 ，.这样依次序 排列着，使得对应着任何一个正整数 有一个确定的数 ，那么，这列有次序的数 1 x 2 x n n x 12
XX2X3.,Xn...就叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，第n项x，叫做数列的一般项。例如：1239.......2'3'4'n+12,4,8...2".*1111224'8”1, ,,.,( ),*;n +(-1)~-1142..2'3n都是数列的例子，它们的一般项依次为(-1)*, n +(-1)-n2n.2"n+1"n以后，数列XX2X3,.,Xn....也简记为数列(x，)。如果数列x，，当n无限增大时，数列x，的取值能无限接近常数l，我们就称/是x，当n→o0时的极限，记作limx, =l,n→o它的解析定义是：如果数列x，与常数a有下列关系：对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时的一切x，，不等式xn-d<6都成立，则称常数a是数列x，的极限，或者称数列x，收敛于α，记为limx, =a,+或x,→a (n→o)。如果数列没有极限，就说数列是发散的。显然13
321 xxxx n， "" 就叫做数列。 数列中的每一个数叫做数列的项，第 项 叫做数列的一般项。例如： n n x ( ) ( ) " " " " "" "" "" ， ， ；， ；， ；， ；， n n n n n n n n 1 1 1 3 4 2 1 2 1111 2 1 8 1 4 1 2 1 2842 14 3 3 2 2 1 − + −+ −− + 都是数列的例子，它们的一般项依次为 ( ) ( ) n n n n n n n n 1 1 1 1 2 1 2 1 − + −+ − + ， 。 以后，数列 321 xxxx n， "" 也简记为数列 。 { }n x 如果数列 ，当 无限增大时，数列 的取值能无限接近常数 ，我们就称l 是 当 时的极限，记作 n x n n x l n x n ∞→ n lx ， n = ∞→ lim 它的解析定义是： 如果数列 与常数 有下列关系：对于任意给定的正数 n x a ε （不论它多么小），总存在正 整数 ，使得对于 时的一切 ，不等式 N > Nn n x ax <− ε n 都成立，则称常数 是数列 的极限，或者称数列 收敛于 ，记为 a n x n x a n ax ， n = ∞→ lim 或 (nax →→ ∞) n 。 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 显然 13
1lim==0→ nn+1lim11→00?三、收敛数列的性质性质1（极限的唯一性）数列，）不能收敛于两个不同的极限。性质2（收敛数列的有界性）如果数列(x,)收敛，那么数列(,)一定有界。性质3（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列(x，)收敛于α，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是α。小结：本节讲述了数列极限的定义和性质81.3函数的极限教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系教学难点：极限概念的理解教学内容：一、自变量无限变大时，函数的极限1.函数当x→0时的极限我们知道，当x→0时(s)=越来越接近零。如果函数(s)当无限增大时，1(s)取值和常数|要多接近就有多接近，此时称/是f(x）当x→o0时的极限，记作lim f(x)=1 。它的解析定义是：设函数f(x)当x大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在着正数X，使得对于适合不等式x>X的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)-A<，那么常数A就叫做函数f(x)当x→时的极限，记作limf(x)= A或f(x)→ A (当x→0)。14
。 ， 1 1 lim 0 1 lim = + = ∞→ ∞→ n n n n n 三、收敛数列的性质 性质 1（极限的唯一性） 数列{xn }不能收敛于两个不同的极限。 性质 2（收敛数列的有界性） 如果数列{xn }收敛，那么数列{xn }一定有界。 性质 3（收敛数列与其子数列间的关系） 如果数列{xn }收敛于 ，那么它的任一子数 列也收敛，且极限也是 。 a a 小结：本节讲述了数列极限的定义和性质 §1.3 函数的极限 教学目的：理解极限的概念，理解左右极限的概念，为研究微积分作好工具准备 教学重点：各种趋势下的极限定义，左右极限存在与极限存在的关系 教学难点：极限概念的理解 教学内容： 一、自变量无限变大时，函数的极限 1. 函数当 x ∞→ 时的极限 我们知道，当 x ∞→ 时 ( ) x xf 1 = 越来越接近零。如果函数 (xf ) 当 x 无限增大时， 取值和常数l 要多接近就有多接近，此时称l 是 ( ) xf (xf ) 当 x → ∞ 时的极限，记作 ( ) lxf x = ∞→ lim 。 它的解析定义是： 设函数 当 ( ) xf x 大于某一正数时有定义。如果对于任意给定的正数ε（不论它多么小）， 总存在着正数 X ，使得对于适合不等式 > Xx 的一切 x ，对应的函数值 都满足不等 式 ( ) xf ( ) Axf <− ε ，那么常数 A 就叫做函数 (xf ) 当 x → ∞ 时的极限，记作 ( ) Axf x = ∞→ lim 或 ( ) → Axf （当 x → ∞ ）。 14