（4）三角函数数三角函数有正弦函数y=sinx、余弦函a>1y4y=log.a<120图 1-2 图 1-3y=cosx、正切函数y=tanx、余切函数y=cotx、正割函数y=secx和余割函数y=cscx。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。（5）反三角函数1JTL21反三角函数主要包括反正弦函数y=arcsinx、3反余弦函数y=arccosx、02元反正切函数y=arctanx和反余切函数y=arccotx等它们的图形如图1-57所示。?（6）常量函数为常数图1-4y=c（c为常数）定义域为（-0，+8)，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。6
（4）三角函数 三角函数有正弦函数 = sin xy 、余弦函 数 图 1-2 图 1-3 y = cos x 、正切函数 y = tan x、余切函数 y = cot x 、正割函数 y = sec x 和余割函 数 y = csc x。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图 1-4。 （5）反三角函数 反三角函数主要包括 反正弦函数 、 反余弦函数 = arcsin xy y = arccos x、 反正切函数 y = arctan x 和 反余切函数 y = arc cot x 等．它们的图形如图 1-5 所示。 （6）常量函数为常数 （ 图 1-4 y = c c为常数） 定义域为 ，函数的图形是一条水平的直线，如图 ( ， ∞+∞− ) 1-6 所示。 通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成 的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。 6
例如，y=ln(sinx+4)y=e2xsin(3x+1)，y=/sinx，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数y=[x等分段函数就是非初等函数。011x-1在微积分运算中，常把一个初-110等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十分重要的。y=arctanzC4o图 1-6图1-5例1.由方程x2-2x-3=0的根组成的集合，可用列举法表示为（-13)，也可用描述法表示为(xx2-2x-3=0)元元,Y =(-00,+80),Y, =[-1,1].对应关系:对定义例 2. 设X, =(-00,+ 0), X, =2'2域内的任一x，f(x)=sinx,i=1,2,3,4f:X→Y,既非满射,又非单射；f:X,→Y,满射，非单射；J:X，→Y,单射，非满射；f:X,→Y,满射单射，即为一一映射7
例如， ( ) ( ) 2 3 4sinln 13sin yxeyxy x ， =+= + ， 是在工程技术中，非初等函数也会 经常遇到。例如符号函数，取整函 数 = [ ] xy 等分段函数就是非初等函 数。 在微积分运算中，常把一 = sin x ，.都是初等函数。初 等函数虽然是常见的重要函数，但 个初 等函数分解为基本初等函数来研 1. 由方程 0 图 1-5 究，学会分析初等函数的结构是十 分重要的。 图 1-6 2 例 x x − 2 3 − = 的根组 成的集合，可用 列举法表示为{−1,3 , } 也可用 2 描述法表示为{ 2 30 xx x − −= }. 例 2. 设 1 2 ( , ), , , 2 2 X X ⎡ ⎤ π π = −∞ + ∞ = −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . 1 2 Y Y = ( , ), [ 1,1] −∞ + ∞ = − 对应关系:对定义 域内的任一 x , ( ) sin , 1, 2,3, 4 i f x xi = = 11 1 f : , X Y → 21 2 既非满射,又非单射; f : , X Y → 满射, 非单射; 32 1 f : , X Y → 单射, 非满射; 42 2 f : , X Y → 满射,单射,即为一一映射. 7
例3.(1)如图设X=[0,1],Y=((x,y)y=x,xeX).令由X到Y的对应关系为f:xeX→(x,x)eY,则2y=xf是一个从X到Y的映射.满射,单射,即为一一映射，(2) 设X =(1,2,,n,, Y ={2,4,.,2n,].令f:n→2n(n=1,2..),则了是一个从X到Y的映射。满射,单射,即为一一映射 Ox1例 4. 设有映射 g:R→[-1,1],u=g(x)=sinx, 和映射 f :[-1,1]-→[0,1],y=f(u)=u2,则映射g和f构成的复合映射f og :R→[0,1],对 Vxe R,有(f og)(x)= J[g(x)= f(sinx)=(sin x)例5.设()+(-)=2x,其中x0,x#1,求F(x),11答案f(x)=x+x1-x例6.设(x)+(-)=2x，其中x#0,x#1,求(x),解：利用函数表示与变量字母无关的特性令 1=X二1,即x=1，代入原方程得1-x2令1u-1即代入上式得+ f(t)=1-11-xu)+ f("-l)= 2(u-1)uL三式联立=f(x)=x+x1-x例7.求下列函数的定义域：(1) y = log(x-)(16 - x2)(2) y= aresin 2x-1+ V2x-x?7ln(2x-1)[16-x2 >0解：(I)x-1>0定义域是(1,2)U(2,4)x-1+18
例 3. (1) 如图设 X = [0,1], Y xy y xx X = =∈ {( , ) , }.令由 X 到 Y 的对应关系为 f : (,) x X xx Y ∈→ ∈ , 则 f 是一个从 X 到 Y 的映射.满射,单射,即为一一映射. (2) 设 X n = {1, 2, , , }, " " Y n = {2, 4, , 2 , }. " " 令 f n nn : 2 ( 1, 2, → = "),则 ], f 是一个从 X 到 Y 的映射. 满射,单射,即为一一映射 O x y y = x x 1 例 4. 设有映射 g R: [ 1,1 → − u gx x = ( ) sin , = 和映射 f :[ 1,1] [0,1], − → 2 y = = fu u () , 则映射 g 和 f 构成的复合映射 2 f gR D : [0,1 → ], 对∀ ∈x R, 有( )( ) [ ( )] (sin ) (sin ) . f D g x fgx f x x == = 1 () ( ) 2, x f xf x x − 例 5.设 + = 其中 x x ≠ 0, 1, ≠ 求 f ( ). x 1 1 ( ) 1 1 fx x x x =++ − − 答案 1 () ( ) 2, x f xf x x − 例 6.设 + = 其中 x x ≠ 0, 1, ≠ 求 f ( ). x 解：利用函数表示与变量字母无关的特性. 1 , x t x − = 1 , 1 x t = − 令 即 代入原方程得 1 2 ( ) () 1 1 f ft t t + = − − , 1 1, 1 u x u − = − 1 , 1 x u = − 令 即 代入上式得 1 1 2( ( )( ) 1 u u f f uu u − − + = − 1) 1 1 ( ) 1 1 fx x x x 三式联立⇒ = ++ − − 例 7. 求下列函数的定义域: 2 ( 1) (1) log (16 ) x y x = − − 2 21 2 (2) arcsin 7 ln(2 1) x x x y x − − = + − 2 16 0 解：(1) 1 0 定义域是 1 1 x x x ⎧ − > ⎪ ⎨ − > ⎪ − ≠ ⎩ (1, 2) (2, 4). ∪ 8
2x-x2≥0定义域是（.1U(2)(2)22x-1>02x-1+1例8.按国家规定，个人月收入x不超过880元不纳税超过880元而小于1380元的部分按5%纳税而超过1380元小于2000元的部分按10%纳税，则个人月收入x与交纳所得税y的函数关系为0,x≤8805(x-880):880<x≤1380V100510+(x-1380)(1380-880)1380<x≤2000100100[2x-1,x>0例9. f(x):1x2-1,x≤0yy=X2-例10.用分段函数表示函数y=3-x-1y[3+(x-1), x<1解：y:[3-(x-1), x≥12+x,x<l即14-x, x≥1例 11.设 T(t)在(0.0)上有定义x>0,x>0，求证：若()单调减少，则xf(x +x,)<f(x)+f(x2)9
2 2 1 1 7 (2) 2 2 10 2 11 x x x x x ⎧ − ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ − ≥ ⎪ − > ⎪ ⎪⎩ − ≠ 1 ( ,1) (1, 2]. 2 0 定义域是 ∪ 例 8. 按国家规定,个人月收入 x 不超过 880 元不纳税,超过 880 元而小于 1380 元 的部分按 5％纳税,而超过1380元小于2000元的部分按 10％纳税,则个人月收入 x 与交纳所得税 y 的函数关系为 0, 880 5 ( 880) , 880 1380 100 5 10 (1380 880) ( 1380) , 1380 2000 100 100 x y x x x x ⎧ ⎪ ≤ ⎪ ⎪ = − ⋅ <≤ ⎨ ⎪ ⎪ − ⋅ + − ⋅ <≤ ⎪ ⎩ 2 2 1, 0 ( ) 1, 0 x x f x x x ⎧ − > = ⎨ ⎩ − ≤ 例 9. 2 y x = 2 1 − y x = − 1 x y O 例 10.用分段函数表示函数 y x =− − 3 1 解： 3 ( 1), 1 3 ( 1), 1 x x y x x ⎧ +− < =⎨ ⎩ −− ≥ 即 2 , 4 , 1 1 x x y x x ⎧ + < = ⎨ ⎩ − ≥ -2 4 1 3 x y O f ( ) x x 例 11.设 f ( ) x 在 (0, ) ∞ 上有定义 x x 1 2 > > 0, 0 ，求证：若 单调减少，则 12 1 2 f ( ) () ( x x fx fx +< + ) 9
证: 设为≥0. >≥0,且x<对,于是(2)<()=x,(s)<对,()XX2f(x+x)f(x)又x<x+x,X2X +X2=xf(x +x)<xf(x)+xf(x)<xf(x)+xf(x)=f(x +x2)<f(x)+f(x2)[1,0≤x≤1求函数f(x+3)的定义域例12.设f(x)=-2, 1<x≤20≤x+3≤1[1,-3≤x≤-21解：F(x+3)=-2,1<x+3≤2-2, -2<x≤-1故定义域为[-3,-1]x例13.设f(x)=求f(f(f(x)Vi+x?nxVi+y?(x)x解：f(x)=f(f(x)2V1+2x2/1+ f?(x)1+x2xf(x)/1+2x2xf.(x)= f(f,(x))x?V1+3x2y1+ f(x)1+2x2x由以上两式可推测：J,(x)=V1+ nx?由数学归纳法可证明上式成立e,x<l1x+2, x<0例14.设f(x)=[x, x>1 0(x)=[x-1, 1≥0求 [0(x)]00(x)x<1解： (p(x)=X≥1"p(x),(1)当p(x)<1时10
2 1 12 21 2 1 () () () () fx fx x f x xf x x x 证：设 x x 1 2 > > 0, 0,且 x1 2 < x ,于是 <⇒ < 2 12 x < + x x , 12 2 12 2 f ( )( x x fx ) x x x + < + 又 2 12 1 2 2 2 ⇒ +< + x f x x xf x xf x ( ) () () 21 22 < x f x xf x () () + 12 1 2 ⇒ +< + f ( ) () ( x x fx fx ) 1, 0 1 ( ) 2, 1 2 x f x x ⎧ ≤ ≤ = ⎨ ⎩− < ≤ 例 12.设 求函数 f x( 3 + ) 的定义域 1, 0 3 1 ( 3) 2, 1 3 2 x f x x ⎧ ≤+≤ + = ⎨ ⎩− <+≤ 1, 3 2 2, 2 1 x x ⎧ − ≤ ≤− = ⎨ ⎩− − < ≤− 解： 故定义域为[ 3− , 1]. − 2 () , 1 x f x x = + ( ( ( ))) n f f fx " 例 13.设 求 解： 2f ( ) ( ( )) x f fx = 2 ( ) 1 ( ) 2 2 2 1 1 1 x 2 1 2 x x = + f x x f x = + x + = + + x 3 2 f ( ) ( ( )) x ffx = 2 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 1 2 1 3 1 1 2 x f x x x f x = + x x x + = = + + + 2 ( ) 1 n x f x nx = + 由以上两式可推测: 由数学归纳法可证明上式成立. 2 , 1 2, 0 () , () , , 1 1, 0 x e x x x f x x x x x x ϕ ⎧ < ⎧ + < = = ⎨ ⎨ ≥ ⎩ − ≥ ⎩ 例 14.设 求 f [ ( )]. ϕ x 解： ( ) , 1 ( ( )) , ( ), 1 x e x f x x x ϕ ϕ ϕ ⎧ < = ⎨ ⎩ ≥ （1） 当ϕ() 1 x < 时 10