《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿，A）第6章 线性空间与线性变换 §6.1 线性空间的定义与性质

线性代数 第六章说明：1.满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算2.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不构成线性空间

线性代数 第六章 2. 判别线性空间的方法：一个集合，对于定 义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条 性质的任一条，则此集合就不构成线性空间． 说明: 1. 满足以上八条规律的加法及数乘运算，称 为线性运算．

线性代数 第六章线性空间的判定方法(1）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性例 1实数域上的全体mxn矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作Rmxn: Amxn + Bmxn =Cmxn E RmxnmxnmxnmxnAmxn = Dmxn E Rmxnx：Rmxn是一个线性空间

线性代数 第六章 , Amn = Dmn ,  Amn + Bmn = Cmn (1) 一个集合，如果定义的加法和数乘运算 是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 ． mn m n R  是一个线性空间. m n R   线性空间的判定方法 𝜖 m n R  𝜖 m n R 

线性代数 第六章例2次数不超过n的多项式的全体,记作P[x],即P[x], =(p=anx"+...+ax+aol a.ara.eR),对于通常的多项式加法，数乘多项式的乘法构成向量空间.通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律(anx"+...+aix+ao)+(bnx"+...+bix+bo)=(an + bn)x" +...+(ai + bi)x+(ao + bo)e P[xlna(anx"+...+aix+ao)=(aan)x"+...+(aai)x+(aao) E P[xlP[x],对运算封闭

线性代数 第六章 1 0 1 0 , , { , , , }, , . [ ] [ ] n n n n n n p x R P x P x = = + + +  a x a a a a a 次数不超过 的多项式的全体 记作 即 对于通常的多项式加法 数乘多项式的乘法构成向 量空间 例2 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律． ( ) ( ) a x a1 x a0 b x b1 x b0 n n n n ++ + + ++ + ( ) ( ) ( ) a b x a1 b1 x a0 b0 n = n + n ++ + + + P[x]  n ( ) a x a1 x a0 n  n ++ + ( ) ( ) ( ) a x a1 x a0 n =  n ++  +  P[x]  n P[x] 对运算封闭. n

线性代数 第六章例3n次多项式的全体Q[x],=(p=anx"+...+ax+aol an,",ara.ER,且a,±0对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空间.0p=0x"+...+0x+0±Q[xl因为Q[x],对运算不封闭所以

线性代数 第六章 1 0 1 0 { , , , , 0} . [ ] n n n n n n p x R Q x a x a a a a a a = = + + +   次多项式的全体 且 对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间 例3 0 p = 0 x + + 0x + 0 n  Q[x]  n Q[x] 对运算不封闭. n 因为 所以