拉格朗日中值公式另外的表达方式: f(x0+△x)-f(x0)=f(xo+△x)·△x(0<6<1) 也可写成y=∫(x0+6△x),△x(0<6<1) 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 推论1如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零, 那末∫(x)在区间I上是一个常数 证明:在上任取两点x1,x2(x1<x2) 则f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)(x1<5<x2 ∫'()=0,f(x2)-f(x1)=0即f(x2)=f(x1) 由于x1,x2的任意性,所以f(x)在/上是常数 上一页下一页返回
( ) ( ) ( ) (0 1). f x0 + x − f x0 = f x0 + x x ( ) (0 1). 也可写成y = f x0 + x x 拉格朗日中值公式又称有限增量公式. 推论1 ( ) . ( ) , 那 末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I 拉格朗日中值公式另外的表达方式： , ( ), x1 x2 x1 x2 证明：在 I上任取两点 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 则f x − f x = f − f () = 0, f (x2 )− f (x1 ) = 0 ( ) ( ) 2 x1 即f x = f , ( ) . 由于x1 x2 的任意性，所以 f x 在I上是常数
例2证明当x>0时, 1+x <ln(1+x)<x 证设f(x)=In(1+x) f(x)在0,x满足拉氏定理的条件 f(x)-∫(0)=∫(3)(x-0),(0<号<x f(0)=0,f'(x) 1+x ,由上式得mn(1+x) 十 又:0<ξ<x1<1+2<1+x <1 +x1+ξ <x,即 1+x1+ξ <hn(1+x)<x 1+x 上一页下一页现回
例2 ln(1 ) . 1 0 , x x x x x + + 证明当 时 证 设 f (x) = ln(1+ x), f (x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件, f (x) − f (0) = f ()(x − 0),(0 x) , 1 1 (0) 0, ( ) x f f x + = = 由上式得 , 1 ln(1 ) + + = x x 又0 x 1 1+ 1+ x 1, 1 1 1 1 + + x , 1 1 x x x x + + ln(1 ) . 1 x x x x + + 即