ZM当M→M.即At→0时曲线在M处的切线方程MVx-xoy-yoz-zox'(to)y'(to)z'(to)切向量切线的方向向量称为曲线的切向量T =(x(t),y'(t),z(t)法平面过M点且与切线垂直的平面x(to)(x-xo)+ y'(to)(y- yo) +z'(t,)(z-zo) = 0
当M → M,即t → 0时 , 曲线在M处的切线方程 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x − = − = − 切向量 法平面 x(t 0 )(x − x0 )+ y(t 0 )( y − y0 )+ z (t 0 )(z − z0 ) = 0 切线的方向向量称为曲线的切向量. 过M点且与切线垂直的平面. M • • M O x y z ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T x t y t z t = r
两个柱面的交线2.空间曲线的方程为x-Xo -y-Yo --Z0y= y(x),z= z(x)x'(t)y(to) z'(to)x=x令x为参数，曲线的参数方程是y= y(x)z= z(x)由前面得到的结果,在M(xo,yo,zo)处,x-xo-y-o_z-zo切线方程为y(x)z(xo)法平面方程为1 (x -xo)+ y(x)(y - yo)+z(x)(z -zo) = 0
设曲线直角坐标方程为 , 1 ( ) ( )0 0 0 0 0 z x z z y x x x y y − = − = − 1 ( ) ( )( ) ( )( ) 0. x − x0 + y x0 y − y0 + z x0 z − z0 = 法平面方程为 2.空间曲线的方程为 曲线的参数方程是 由前面得到的结果,在M(x0 , y0 , z0 )处, 令 y = y(x),z = z(x) = = = ( ) ( ) z z x y y x x x 切线方程为 x为参数, 两个柱面的交线 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x − = − = −
x-xo-y-yo_z-zoe" cosudux=x'(t)y'(t)z(t)例1 求曲线I:y=2sint+costz =1+e3tx'(t)(x -x)+y'(t(y-y)+z(t)(z-z)= 0解 当t=0时,x=0,y=1,z= 2x'=e' cost, y'= 2cost -sint, z'=3e3t= x'(0)=1, y'(0) =2, z(0)=3J-1 z-2x-0切线方程123法平面方程 x+2(y-1)+3(z-2)=0即x+2y+3z-8=0
在t = 0处的切线与法平面方程. 求曲线 : = + = + = t t u z e y t t x e u u 3 0 1 2sin cos cos d 解 x = 0, y = 1,z = 2 x e cost, t = y = 2cost − sint, t z e 3 = 3 x(0) = 1, y(0) = 2, z (0) = 3 切线方程 3 2 2 1 1 0 − = − = x − y z 法平面方程 x + 2( y − 1) + 3(z − 2) = 0 x + 2 y + 3z − 8 = 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 z t z z y t y y x t x x − = − = − x(t 0 )(x − x0 )+ y(t 0 )( y − y0 )+ z (t 0 )(z − z0 ) = 0 例1 即 当t = 0时
例2在抛物柱面=6x2与=12x2的交线上,1求对应x=的点处的切向量一2x=xy = 6x2解取x为参数，交线的参数方程为[z =12x2于是x'=1，y=12x，z=24x1所以交线上与x=二）对应点的切向量为：2 =(1, 6,12)
例2 在抛物柱面 与 的交线上, 求对应 的点处的切向量. x为参数, 于是 x = 1, y = 12x, z = 24x 2 z = 12x 2 y = 6x 2 1 x = 解 = = = 2 2 12 6 z x y x x x 所以交线上与 2 1 x = 对应点的切向量为: T =(1, 6,12). 取 交线的参数方程为
两个曲面的交线3.空间曲线的方程为F(x,J,z)= 0设空间曲线方程为G(x,y,z) = 0"y= y(x)确定了隐函数(= z(x)x=xy=y(x)表示)此曲线方程仍可用方程组z= z(x)F(x, y(x),z(x) = 0，两边分别对x求全导数：G(x, J(x),z(x)) = 0
设空间曲线方程为 , ( , , ) 0 ( , , ) 0 = = G x y z F x y z 3.空间曲线的方程为 确定了隐函数 (此曲线方程仍可用方程组 两边分别对 . ( ) ( ) = = z z x y y x = = = ( ) ( ) z z x y y x x x , ( , ( ), ( )) 0 ( , ( ), ( )) 0 G x y x z x F x y x z x 表示.) x求全导数: 两个曲面的交线