.bni D=: =∑(-1)bb2-bm. t=t(pP2.pn) bn.bm 该性质表明，行列式的“行”与“列”是平等的，对行（列成立的结论，对列（行）也 相应成立。因此，下面仅就行列式行的情形加以论述。 因此，对于行成立的性质对于列也成立。 . . . . .小 a.am 性质2设1<，D= . D=. 则D,=-D.即对换行列 .am a.an 式中任意两行的位置，行列式反号. 证bk=aA,bt=au(k=l2,.,川） 1≠i,广bk=ak(k=l,2,.,m b.bn D=.=∑(-l)(.bn.btt.p,.p, . =∑（-ly'(-l.bm,.bn (.p,.p, =(-1∑(-ly(.ap.am. 9,=P,9=p 1≠：g=p =-∑-y(.a。.ag=-D 推论1D对调两列得D2→D2=-D, 证因为D对调两列得D,相当于D'对调两行得D 所以D,=D=-D=-D 推论2D中某两行（列元素对应相等→D=0 证因为对调此两行（列后，D的形式不变 6
6 n nn n b b b b D 1 11 1 Τ = n n p p np p p p b b b 1 2 1 2 1 2 ( ) = (−1) ( ) p1 p2 pn = ap ap ap n D p p p n n = − = 1 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) 该性质表明，行列式的“行”与“列”是平等的，对行(列)成立的结论，对列(行)也 相应成立．因此，下面仅就行列式行的情形加以论述． 因此，对于行成立的性质对于列也成立。 性质 2 设 j jn i in a a a a i j D 1 1 , = , i in j jn a a a a D 1 1 1 = , 则 D1 = −D ．即对换行列 式中任意两行的位置，行列式反号． 证 b a , b a (k 1,2, ,n) ik = jk jk = ik = l i, j : b a (k 1,2, ,n) lk = lk = ( 1) ( ) 1 1 1 i j i p j p j j n i i n b b b b b b D = = − ( ) pi p j ( 1) ( 1)( ) j i jp ip t = − − b b ( ) p j pi t ( 1) ( 1) ( ) j i ip jp t = − − a a l l i j j i l i j q p q p q p = = = , : , ( 1) ( 1) ( ) i j iq jq t = − − a a = −D ( ) qi qj t 推论 1 D 对调两列得 D2 D2 = −D． 证 因为 D 对调两列得 D2 , 相当于 T D 对调两行得 T D2 所以 D = D = −D = −D T T 2 2 推论 2 D 中某两行(列)元素对应相等 D = 0． 证 因为对调此两行(列)后, D 的形式不变
所以D=-D三D=0 123 例如，对于任意的a,b,c,都有abc=0 123 a.aim .ka y.a 性质3ka. =kD, kD.即行列式的某一行 . a.kag.an anl.an (列)中所有的元素都乘以同一个数k,等于用数k乘此行列式（第i行乘以k,记作，×k) 证左端=∑(-l)'[an.(kan.am.】 t(p.p.p) =k∑(-)r(an.an.am.)=kD 推论1行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 即行列式某行元素的公因子可以提取到行列式号外。 推论2D中某行（列）元素全为0→D=0. 性质4若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如第i列），则 |a.aaa1.ana.am . . a.a =bbn+ca.cm . 证左端=∑-l)'(an.ag.am,） t(p.pp) =∑-lr(an.bn.an.)+∑-lyr(an.cn.am =右端(1H右端(2) ” ai.an a+a.am+a 性质6 0≠) an.am . >
7 所以 D = −D D = 0 例如, 对于任意的 a,b, c , 都有 0 1 2 3 1 2 3 a b c = ． 性质 3 kD a a ka ka a a n nn i in n = 1 1 11 1 , kD a k a a a k a a n nj nn j n = 1 11 1 1 ．即行列式的某一行 （列）中所有的元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘此行列式（第 i 行乘以 k，记作 r i k ） 证 左端 ( 1) [ ( ) ] 1 1 i npn = − a p kaip a ( ) p1 pi pn k a a a kD i npn = (−1) ( p ip ) = 1 1 推论１ 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 即行列式某行元素的公因子可以提取到行列式号外． 推论２ D 中某行(列)元素全为 0 D = 0． 性质 4 若行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。 性质５ 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和（例如 第 i 列）， 则 n nn i in n a a a a a a 1 1 11 1 n nn i in n a a b b a a 1 1 11 1 = n nn i in n a a c c a a 1 1 11 1 + 证 左端 ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p aip a ( ) p1 pi pn ( 1) ( ) 1 1 i npn = − a p bip a ( 1) ( ) 1 1 i npn + − a p cip a = 右端(1)+ 右端(2) 性质６ j jn i in a a a a 1 1 ( ) 1 1 1 i j a a a a a a j j n i j i n j n r kr i j + + = +