证：首先证对xo∈J有 W(x)=W(ro)ef A(s)ds 称为Liouville公式， 其中trA(x)=a1u(x)十..十an(x)为矩阵函数A(x)的迹. 事实上，对W(x)求导数，并利用行列式的求导法则得 y11 yin .: aw(x) = =(trA(x))W(x). d a ∑aym j=1 ynl ynn 对上式两边从o到x积分即得Liouville公式. 命题(a)和(b)的结论从Liouville公式容易得到.证毕. 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
y: ƒkyÈ ∀x0 ∈ J k W(x) = W(x0)e R x x0 trA(s)ds , °è Liouville ˙™, Ÿ• trA(x) = a11(x) +...+ann(x) è› ºÍ A(x) ,. Ø¢˛, È W(x) ¶Í, ø|^1™¶{K dW(x) dx = ∑ 1≤i≤n y11 ··· y1n . . . ··· . . . n ∑ j=1 aijyj1 ··· n ∑ j=1 aijyjn . . . . . . . . . yn1 ··· ynn = (trA(x))W(x). È˛™¸>l x0 x »©= Liouville ˙™. ·K (a) ⁄ (b) (ÿl Liouville ˙™N¥. y.. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{
例题：对于向量函数组 8品 判定 。它们是否是某个二阶齐次线性方程组在R上的两个解. ·如果不是，说明理由」 。如果是，给出相应的二阶齐次线性微分方程组。 张样：上海交通大学数学系 第二十讲、线性微分方程组：基本解组、通解和常数变易法
~Kµ Èuï˛ºÍ| i) 1 x ! , x x 3 ! , ii) 1 x 2 ! , x x 3 +1 ! , ½ ßÇ¥ƒ¥,á ‡gÇ5êß|3 R ˛¸á). XJÿ¥, `²nd. XJ¥, â—ÉA ‡gÇ5á©êß|. ‹å: ˛°œåÆÍÆX 1õ˘!Ç5á©êß|: ƒ )|!œ)⁄~ÍC¥{