注意: V的两子空间的并集未必为Ⅴ的子空间.例如 1={(a,0,0)a∈R,V2={(0,b,0)b∈R 皆为R3的子空间,但是它们的并集 v1∪V2={a,0,0)(0,b,0),b∈R ={(a,b,0)a,b∈R且a,b至少有一是0 并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭,如 (1,0,0),(0,1,0)∈VUV2 但是(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)≠V1Uv2
6 V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 注意： 1 2 V a a R V b b R = = {( ,0,0) }, {(0, ,0) } 皆为R3的子空间，但是它们的并集 1 2 V V a b a b R = {( ,0,0),(0, ,0) , } 并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 1 2 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) + = V V 1 2 (1,0,0), (0,1,0)V V 但是 = {( , ,0) , , } a b a b R a b 且 中至少有一是0
三、子空间的交与和的有关性质 1、设V1,V2,W为线性空间的子空间 1)若WcV1,W∈V2,则W∈V∩v2 2)若V∈W,V2cW,则V+V2≤W 2、设V1,V2为线性空间V的子空间,则以下三 条件等价: 1)Vice 2)V∩v2=V 3)V1+V,=
7 三、子空间的交与和的有关性质 1 2 1 2) V V V= 1 2 2 3) V V V + = 1 2 1) V V 2、设 V V1 2 , 为线性空间V的子空间，则以下三 1、设 V V W 1 2 , , 为线性空间V的子空间 1）若 W V W V 1 2 , , 则 1 2 W V V . 2）若 则 1 2 V V W + . 1 2 V W V W , , 条件等价: