《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第05章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律

概率论与散理统外 二、基本定理 定 契比雪夫 表达式的意义 {X-4飞是二个随机事件，等式表 明，当n→oo时这个事件的概率趋于升， 即对于任意正数&，当n充分大时，不 量 等式|X-4Ks成立的概率很大 正 Y k=1 数& m阳服水=P空- <8=1

定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 1 2 2 1 , , , , , ( ) , ( ) ( 1, 2, ), 1 , n k k n k k X X X E X D X k n X X n          设随机变量 相互独立 且具有相同的数学期望和方差： 作前 个随机变量 的算术平均序列 则对于任意正 数 有 契比雪夫 1 1 lim {| | } lim 1. n k n n k P X P X n                     表达式的意义 | | . , , , 1, {| | } , 等 式 成立的概率很大 即对于任意正数 当 充分大时 不 明 当 时这个事件的概率趋于 是一个随机事件 等式表            X n n X 二、基本定理

概率论与散理统外 证明 2x]2sK)-=4 客x]是2ma-日 由契比雪夫不等式可得 P容-ue小1品 在上式中令n→oo,并注意到概率不能大于1，则 pEx.-4xo-1. [证毕判

证明 ( ) 1 1 1 1           n k k n k k E X n X n E , 1   n   n ( ) 1 1 1 2 1           n k k n k k D X n X n D , 1 2 2 2 n n n      由契比雪夫不等式可得 1 , 1 2 2 1 n X n P n k k                 在上式中令n  ， 并注意到概率不能大于1, 则 1. 1 1              n k Xk n P [证毕]