黔南民族师范学院：《线性代数》课程电子教案（PPT教学课件）第六章 线性变换

(2)若σ是单射,V5≠∈Ⅳ,有(5)≠() 又∵σ(5=0=σ(0 2=0即ker(a)≠(), 反之:≠EV,且5=0(m 则∝(5-m)=0 71=0 与已知矛盾。 是单射

又 ( ) = 0 =  (0) \ = 0 即 ker( )   (), （2）若 是单射，   V ，有 ( )   (),              = \ = =    = - 0 则 ( - ) 0 ， 反之： V，且 ( ) ( ) ， 矛盾。 ∴ 是单射 与已知

说明: 是双射冷 (1)Im(o)=(V) (2)ker(o)={0}

说明： (2) ker( ) {0} (1) Im( ) (V), 是双射 = =     

定理6.13 两个线性映射的乘积还是线性映射。 证明 设,σ,t分别是V到廴和U到W的线性映射。 即:σ:→>U,t:U→>W 则证明σ,τ,是V到W的一个线性映射 事实实上令p=τ,则v∈V,有p(2)=o(唯 p是到W的一个线性影射 又ab∈F,∈V有:(a2+bn)=a()+bp(7) p是到W的一个线性影射

定理6.1.3： ❖ 两个线性映射的乘积还是线性映射。 设，,分别是V 到U和U 到W的线性映射。 即: :V →U, :U →W; 则证明 ，  ，是 V到W 的一个线性映射 事实实上令 =.， 则  V，有 ()=.()唯一。 ∴是V到W的一个线性影射 又a,bF, V,有: (a + b) = a()+ b() ∴ 是V到W的一个线性影射。 证明：

说明: 推广 若σ,p,rz都是线是线性映 则p(a9r)是线是线性 且p(o°r)=(p°

说明： ❖推广： ( ) 且 ( ) ( ) 。 则 也是线是线性映 若 , , 都是线是线性映               =    

定理6.1.4 如果线性映射有映射,则逆映射也是线性映射。 证明: 设σ是V到W的一个线一个线性映o存在, 则:σ是到的一个映射, 又,n∈W,a,b∈F 则:a()∈V,且:aa()+ba(7)∈,于是: F(ao (5)+bo(n))=as+bn 两边同时施行σ,得到 ao(o)+bon=o(as+bn) 1是W到的线线性映射

定理6.1.4 ❖ 如果线性映射有映射，则逆映射也是线性映射。 则: 是到的一个映射， 设 是V 到 W的一个线一个线性映 存在， -1 -1    ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 是 到 的线线性映射 a , : a : , : a , : , ,a,b F, -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 W V b a b b a b V b V W                         \ + = + + = +  +     − − − 两边同时施行 得到 则 且 于是 又 证明：