黔南民族师范学院：《线性代数》课程电子教案（PPT教学课件）第六章 线性变换

定理6.1.1 设V和W是户上的向量空间,是V到W的一个线性映射 则V的任意子空间在σ之下的象是w的一个子空间而W 的任一子空间在σ之下的原象是的一个子空间

定理6.1.1 空间. 则V的任意子空间在 而 的任一子空间在 之下的原象是 的一个子 之下的象是W 的一个子空间, 设V和W是F上的向量空间， V W   是V到W的一个线性映射. 

证明 设Ⅴ是V的一个子空 现在证明:a(V')是W的子空间 V5,m′∈o(),则5,m∈V,30(5)=5,0()=n, 是线性变换,Va,b∈F,有 a95+b=a0(5)+b0(m)=o(a5+bm)e(V) (V)是W的子空间

证明 : 现在证明： (V) 是W的子 空间 , , ( ) , ( ) , ( ),   , V  则$  V  '   =     = 设V 是V的一个子空间, ) ∵ 是线性变换， a, b  F，有 : a b a ( ) b ( ) (a b ) (V )  +  =   +   =   +    (V )是W的子空间. \ 

说明: ①线悝映射把子空间映成子空间,如果象是子空间, 则原象也是子空间 ②特别在之下的象是的一个子空间一个的象, 记们m()即mG)= 另一方面的零子空间0在之下的原象是V的个子空间 它叫做的核。记核er()=5ew()=0 注意m()∈W,ker(o)V

注意:Im() W, ker() V. 说明: ①线性映射把子空间映成子空间，如果象是子空间， 则原象也是子空间。 记作Im( )..即Im( ) ( )。 ② ¢特 别 在 之下的象 是的一个子空间一个 的象， V V (V)       = 做 的核。记核ker( ) = { V | ( ) 0}。 另一方面W ，的零子空间{0}在 之下的原象是V的一个子空间一       =  它叫

定理6.12: 设σ是V→>W的一个线性映射,则: (1)σ是满射Im(a)=W; (2)O是单射令>ker(σ)={0}

定理6.1.2： (1 ) Im( ) ;   是满射 =W (2)  是单射 ker( )  ={0}. 设  是 V →W 的一个线性映射，则：

证明: (1)若σ是满满射。 V"∈W,35∈V,3(5)=5∈Im(G) 又Im(o)W, m()=W 反之:若Im=W,即V′∈W,有,a()=.5∈V o是满射

证明： . :若I = ， 即 ， 有 ， ( ) . 是满射 反之       \ m W  W =  V W W W V ∴Im( ) = 又 Im( ) , , , ( ) = Im( ) （1）若 是满满射。             $  ' 