例子 例.对于R2每一个向量到5=(x1+x2)定义 ()=(1-x2,x1+x2)R3则是R2到R的一个线一个线性 证明:显然σ是R2到R3的一个映射。 又vab∈Rv=(x1x2n=(vn,y2)∈R2 o(a2+bn)=a(2)+bo(7) to(as +bn)=o(as)+o(bn)=ao(5)+bo(n) o是R2到R3的一个线一个线性
二、例子 证明：显然 是 到 的一个映射。 2 3 R R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∴ 是 到 的一个线一个线性 a a,b R, x x , , , 2 1 , 2 1 2 2 3 R R a b b a b a b a b y y R + = + = + + = + = = 由 又 ( ) ( ) (x , ) 则 是 到 的一个线一个线性 例1． 每一个向量到 ，定义 1 2 1 2 2 3 2 3 1 2 x x x R R R R x x = − + 对于 = +
例2 令H是V中经经过原点的一个面,对于V3的每每一个向5 令o()示在平面H上的Z射影 证明o是V3→V3的一个线性映射 证明:由射影性质: o(+n)=a(2)+a(m Flac=oa a是V3→>V的一个线性映射
例2． ( ) 证明 是 的一个线 . 表示 在平面 H上的Z 射影。 H是 中经经过原点的一个平 ,对于 的每每一个向 ， 性映射 令 令 面 3 3 3 3 V V V V → ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; a = a + = + 证明：由射影性质： ∴是V3 → V3 的一个线性映射
例3 令A是F上一个m×n矩阵阵,对n列空间F的每一向量ξ= 规定()∈F",是F”到F"的一个线一个线性 证明: 77 ∈Fn,a.b∈F 由o(a+bn)=a(a)+o(bn)=ao()+bo(
例3 : 定 ( ) ， 到 的一个线一个线性 ， . . x 是 F上一个 矩阵阵，对 列空间 的每 向量 = 1 n n n n n F F F x A m n n F 规 是 令 一 F a b F y y x x n n n = = , , . . , . . 1 1 证明： 由(a +b) =(a)+(b) = a()+b();
例4: 令和W是F上向量空间,V∈V,令W中的霁向量与它对应,即: G:5→0,则σ是V到W的一个线性映射。 证明: Va,b∈F,V5,n∈V,有 g(as+bn)=ao(s)+bo(n) 此时,称σ是零向量记为:0
例4 : ： 0， 则 是 到 的一 性映射。 和W是 上向量空间， W中的零向量与它对 ,即： 个线 令 ，令 应 V W V F V → ( ) ( ) ( ); , , , , : b a b a b F V + = + a 有 证明： 此时,称是零向量,记为:0
例5 令是F上向量空间,取定k∈F,合()=k() 则是V到V的一个线一个线性 证明: 此时,称a是F上一个线一个线F上一个n元线性函数
例５： ( ) ( ) 则 是 到 的一个线一个线性 是 上向量空间 , ,令 k 。 V V V F k F 令 取定 = 证明：…… 此时,称 是 F 上一个线一个线 F上一个n元线性函数. n